Групповые дисперсии. 
Агрегатный индекс себестоимости

Задача 1. По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.

Таблица 1 — Исходные данные

Решение:

Для определения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимо воспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель и неизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.

Таблица 2 — Вспомогательная

Так средние затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле

где х — признак (варианта) — индивидуальные значения усредняемого признака; показатель, представляющий собой реально существующий экономический показатель равный х• f:

Данные берутся из таблицы.

Ответ: Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.

Задача 2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы, результаты которого приведены ниже, определить:

1) относительную величину структуры численности рабочих;

2) моду и медиану стажа рабочих;

3) средний стаж рабочих цеха;

4) размах вариации;

5) среднее линейное отклонение;

6) дисперсию;

7) среднее квадратическое отклонение;

8) коэффициент вариации;

9) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Таблица 3 — Исходные данные

Решение:

1) Находим относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим следующую таблицу.

Таблица 4 — Относительная структура численности рабочих

2) Находим моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.

Таблица 5 — Вспомогательная.

Мода — это наиболее часто встречающееся значение ряда:

,

где — мода; - нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным; - шаг модального интервала, который определяется разницей его границ; f_mo — частота модального интервала; f_mo-1 — частота интервала, предшествующего модальному; f_mo+1 — частота интервала, последующего за модальным.

Медианой является значение признака х, которое больше или равно и одновременно меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части:

где x_me — нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать величину. Интервал с накопленной частотой равной величинеявляется медианным; i — шаг медианного интервала, который определяется разницей его границ; - сумма частот вариационного ряда; S_me-1— сумма накопленных частот в домедианном интервале; f_me — частота медианного интервала.

3) Находим средний стаж рабочих цеха:

где х — признак (варианта) — индивидуальные значения усредняемого признака, в качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его границ;

f — частота, т. е. числа, показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.

Сравниваем полученные значения, в нашем случае получаем:

что говорит о левосторонней асимметрии.

По этим данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет; наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая — менее 7,166 лет.

4) Находим размах вариации.

Размах вариации:

где х_max — максимальное значение признака; х _min — минимальное значение признака.

Так, разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.

5) Находим среднее линейное отклонение:

где — индивидуальные значения признака, — средняя величина; f — частота.

Строим расчетную таблицу.

Таблица 6 — Расчетная

.

Так средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.

6) Находим дисперсию:

7) Находим среднее квадратическое отклонение:

.

Средний разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.

8) Находим коэффициент вариации:

.

Так как коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени неоднородности совокупности.

9) Находим с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию.

Границы генеральной средней:

где — генеральная средняя, — выборочная средняя, Дпредельная ошибка выборочной средней:

где — коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,954 t = 2, а при вероятности 0,997 t = 3; n — объем выборочной совокупности;

N — объем генеральной совокупности;

— доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную;

— дисперсия признака выборочной совокупности.

Так, находим предельную ошибку выборочной средней:

.

Тогда пределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Границы генеральной доли:

где р — генеральная доля, — выборочная доля:

где — число единиц, обладающих данным или изучаемым признаком; n — объем выборочной совокупности; - предельная ошибка доли:

где n — объем выборочной совокупности;

N — объем генеральной совокупности;

— доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Тогда доля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:

Задача 3. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.

Таблица 7 — Исходные данные

Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.

Определите связь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации.

Сделать вывод.

Решение:

где — общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий; - межгрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.

где — общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности; _ значение признака (варианта).

Средняя из групповых дисперсий характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;

где f_i — число единиц в определенной i - й группе; - дисперсия по определенной i - й группе:

где — средняя по определенной i - й группе.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т. е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:

.

Находим среднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждой группе. Строим расчетную таблицу.

Таблица 8 — Расчетная

Получаем следующие значения, которые сводим в таблицу.

Таблица 9 — Десперсии по группам

Рассчитываем среднюю из групповых дисперсий:

Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.

Находим межгрупповую дисперсию.

Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.

Таблица 10 — Вспомогательная

.

Так, из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется от среднего значения на 0,625 кг.

Находим общую дисперсию:

=0,75+0,625=1,375.

Так, под влиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.

Задача 4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.

Таблица 11 — Исходные данные

Определить:

1) агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство;

2) абсолютное изменение затрат на производство — общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.

Решение:

1) Находим агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.

Таблица 12 — Расчетная

Агрегатный индекс себестоимости:

где — себестоимость в отчетном и базисном периоде соответственно; - физический объем производства в отчетном периоде;

Агрегатный индекс физического объема произведенной продукции:

где , q₀ — физический объем производства в отчетном и базисном периоде соответственно; - себестоимость в отчетном периоде;

Агрегатный индекс затрат на производство равен:

.

Таким образом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затраты производства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затраты выросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов — на 15,4%.

2) Находим абсолютное изменение затрат на производство — общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства.

Общее абсолютное изменение затрат на производство:

=1 596 155−1 382 200=213955 млн руб.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т. е. роль себестоимости в изменении затрат на производство:

=1 596 155−1 486 100=110055 млн руб.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема производства, т. е. роль физического объема в изменении затрат на производство:

=1 486 100−1 382 200=103900 млн руб.

103 900+110055=213 955

Таким образом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменение общих затрат на производство.

Задача 5. Имеются следующие данные о затратах на производство продукции растениеводства.

Таблица 13 — Исходные данные

Вычислить общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделать выводы.

Решение:

Для нахождения индексов строим вспомогательную таблицу.

Таблица 14 — Расчетная

Средний арифметический индекс физического объема произведенной продукции:

где — индивидуальный индекс физического объема произведенной продукции; z_0, q₀ — себестоимость, физический объем произведенной продукции в базисном периоде соответственно; - затраты на производство в базисном периоде.

Так, за счет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на 2,5%.

Средний гармонический индекс себестоимости:

где — индивидуальный индекс себестоимости; z_1, q₁ — себестоимость, физический объем произведенной продукции в отчетном периоде соответственно; товарооборот (стоимость) реализованной продукции в отчетном периоде.

Так, за счет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производство продукции выросли на 2,8%.

Общий индекс затрат на производство:

Изменение затрат под влиянием обоих составит — 5,4%.

Задача 5. Рассчитать:

1) индексы урожайности переменного состава;

2) индекс урожайности постоянного состава;

3) индекс влияния структурных сдвигов. Сделать выводы.

Таблица 15 — Исходные данные

Решение:

Для решения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.

Таблица 16 — Вспомогательная

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемого показателя. Индекс урожайности переменного состава:

.

Индекс постоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:

.

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности. Индекс структурных сдвигов:

.

Таким образом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структуры посевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площади общая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторов урожайность посевов выросла на 11,8%

Задача 6. По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 — 2005 гг. рассчитать: за каждый год:

1) абсолютный пророст (базисный и цепной);

2) темп роста (базисный и цепной);

3) темпы прироста базисный и цепной);

4) абсолютное значение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;

6) средний абсолютный прирост;

7) средний темп роста;

8) средний темп прироста. Сделать выводы.

Таблица 17 — Исходные данные

Решение:

Для определения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетную таблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:

1. Абсолютный прирост:

А) цепной:

где у_i — уровень ряда динамики за изучаемый период, у_i-1 — уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;

Б) базисный:

где у_о — начальный уровень ряда динамики;

2. Темп роста:

А) цепной:

;

Б) базисный:

;

3. Темп прироста: А) цепной:

или ;

Б) базисный:

или ;

4. Абсолютное значение 1% прироста:

или .

Таблица 18 — Показатели динамики

Далее рассчитываем средние показатели динамики.

1) средний уровень ряда динамики для интервального ряда:

где у_i — уровни ряда динамики, n — число уровней ряда динамики;

2) средний абсолютный прирост:

где у_n — конечный уровень ряда;

3) средний темп роста:

4) средний темп прироста

. =102,1−100=2,1

Так, в среднем за эти годы умирало 22 334 человек в год. В среднем количество умерших в год возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.

1. ??? …, ??? … ??? ??? ???: ??? / … ???, … … — ?.: ???? ???, 2004. — 565 ?.

2. ???: …-… ??? /??? … … … — ?.: ???, 2006 — 480 ?.

3. ??? ???: ??? /??? … … … — ?.: ???-?., 2000. — 414 ?.