Устойчивость сжатых стержней

Устойчивость стержней, работающих в пределах упругости

Рассмотрим условия равновесия шарика (рис. 2.44, а — в). Если шарику дать малое отклонение в горизонтальном направлении, то в первом случае он вернется в исходное положение (состояние устойчивое), во втором — не вернется (неустойчивое положение), а в третьем случае откатится в сторону и остановится (положение безразличного равновесия). Аналогичные явления наблюдаются и в упругих телах.

Рис. 2.44.

Пусть стержень нагружен продольной силой f (рис. 2.45). Приложим к стержню малую боковую силу и снимем ее. Как и в случаях с шариком (см. рис. 2.44), после снятия нагрузки стержень может: 1) вернуться в исходное положение; 2) не вернуться в исходное положение; 3) остаться искривленным, т. е. упругий стержень может иметь три состояния: устойчивое, неустойчивое и безразличное состояние равновесия. Эти три положения, однако, здесь существенно зависят от силы F и геометрических размеров стержня. Аналогичные явления наблюдаются и во многих тонкостенных упругих системах, оболочках, пластинах и др. При некотором значении силы F. называемом критическим , стержень нс распрямится, а сохранит искривленное положение, т. е. безразличное состояние равновесия. При незначительном превышении критической силы стержень начнет сильно искривляться и разрушаться. Допускаемая величина продольной силы.

(2.96).

где - запас устойчивости, который часто задается примерно равным запасу прочности по отношению к пределу текучести:

Рис. 2.45.

Критическое напряжение сжатого стержня может быть и меньше предела упругости, и больше.

Впервые задача устойчивости сжатого стержня была решена Л. Эйлером в 1744 г. Он вывел формулу критической силы для длинных стержней, работающих в пределах упругости, из рассмотрения криволинейной формы равновесия стержня при постоянной нагрузке. Формула Эйлера имеет вид.

(2.97).

где Е — модуль упругости материала;  — минимальный момент инерции сечения стержня;  — длина стержня;

 — коэффициент приведения длины стержня, зависящий от числа полуволн п искривленного стержня, в свою очередь зависящих от вида закрепления стержня (рис. 2.46).

Рис. 2.46.

Вычислим по формуле Эйлера критические напряжения:

(2.98).

Принято обозначать, где  — радиус инерции сечения.

Тогда формула (2.98) принимает вид.

(2.99).

где  — гибкость стержня.

Если обозначить значение гибкости стержня, при котором критическое напряжение достигает предела упругости , то из формулы (2.99) получим.

(2.100).

Формула Эйлера применяется в пределах упругости материала стержня , т. е. для гибкостей, бо? льших критических .

Устойчивость стержней за пределами упругости

Для каждого материала можно построить график критических напряжений , пользуясь механическими характеристиками материала.

График критических напряжений (рис. 2.47) имеет три области:

I — область пластических деформаций, в которой работают короткие стойки (стержни) на сжатие. Здесь потери устойчивости не происходит и за принимается ;

II — область упруго-пластических деформаций. Критические напряжения в этой области определяются по формуле Ясинского (уравнения прямой линии):

(2.101).

где а — коэффициенты уравнения прямой линии.

Так как прямая А В соединяет точки А и В, то, подставив координаты точек Л и В в уравнение (2.101), получим коэффициенты а и b;

III — область упругих деформаций — область Эйлера. Здесь определяется, по формуле Эйлера, выраженной в напряжениях (2.99).

Рассмотрим задачи на определение критических напряжений.

Задача 2.1. Задана стойка по форме и размерам. Известен материал. Требуется найти критическую нагрузку.

Задачу можно решить с помощью кривой критических напряжений. В любом случае определяем , затем . Далее находим гибкость стойки по вычисленному ранее минимальному радиусу инерции . При этом значения и А берут из таблиц или вычисляют.

По найденной гибкости устанавливают, в какой области работает стойка, и в зависимости от этого определяют по со;

Рис. 2.47.

ответствующей формуле для ??? или по графику. Найдя , определяют . Если задан запас устойчивости, находят допустимую нагрузку по формуле (2.96).

Задача 2.2. Известны предельная допустимая сила и запас устойчивости , т. е. известна . Даны конструкция стойки, се материал. Требуется определить размеры сечения.

Эта задача — неопределенная, так как нельзя найти , где , поскольку и А неизвестны.

В этом случае задаются размерами сечения и решают прямую задачу (тип первый). Определяют значение и сравнивают с заданным. Если полученное значение больше заданного, берут меньшее сечение и опять определяют ; если полученное значение меньше заданного — увеличивают сечение. Таким образом с помощью нескольких проб определяют нужные размеры сечения.