Оценка условным методом максимального правдоподобия

Оценка условным методом максимального правдоподобия, или условная ML-оценка (conditional ML estimator), максимизирует совместное правдоподобие уп, …, упТ, условное по индивидуальным средним у1г…, ут. Этот метод привлекателен тем, что при выполнении условия нормальности, в линейных панельных моделях исключаются фиксированные эффекты а;, и в результате происходит максимизация функции условного правдоподобия только относительно параметра ?.

Предположим, что уit, условное по регрессорам хк, и параметры ?;,? и ?2 являются одинаково распределенными величинами с нормальным распределением N[a,• +x'(t, a2]. Тогда функция условного правдоподобия будет иметь вид.

(9.41).

Первое равенство определяет условное правдоподобие при предположении о независимости по і. Второе равенство всегда соблюдается, так как = поскольку у — это функция от уj, ут. Третье равенство получается после осуществления алгебраических преобразований при предположении о нормальном распределении. В последнем равенстве уже отсутствуют фиксированные эффекты а, функция условного правдоподобия на самом деле является функцией , и логарифм функции правдоподобия будет максимизироваться только по отношению к? и ?2.

Условная ML-оценка (3CML определяется на основе условия первого порядка.

(9.42).

Если произвести перегруппировку данных, то получим уравнение.

(9.43).

Уравнение (9.43) есть не что иное, как условие первого порядка для МНК регрессии на , и поэто му условная ML-оценка рсж равна внутригрупповой оценке ?" ?•… Условная ML-оценка ()Ш1 является состоятельной оценкой ?-коэффициентов в модели с фиксированными эффектами (9.7).

МНК-оценки модели первых разностей

Если из модели с фиксированными эффектами (9.7) вычесть модель с фиксированными эффектами с лагом на один период то получим модель первых разностей (first-differences model).

(9.44).

Модель первых разностей в отличие первоначальной модели (9.7) уже не содержит фиксированные эффекты а,•. Следует обратить внимание на то, что в уравнении (9.44) используется только N (T-1) наблюдений.

Оценка первых разностей (first-differences estimator) представляет собой МНК-оценку ?-коэффициентов в модели (9.44):

(9.45).

Оценка первых разностей использует специальные характеристики панельных данных. В короткой панели оценка первых разностей измеряет связь между индивидуальными изменениями в регрессорах за один период времени и индивидуальными изменениями в зависимой переменной за тот же период времени. Оценка первых разностей, так же как и внутригрупповая оценка, не позволяет оценить коэффициенты постоянных во времени регрессоров для каждого индивида в модели с фиксированными эффектами. Для Т = 2 оценка первых разностей совпадает с внутригрупповой оценкой, так как то , и аналогично для X, но для Т >2 эти оценки не совпадают. При предположении о том, что ошибки ги являются независимыми одинаково распределенными величинами, можно показать, что оценка обобщенным методом наименьших квадратов модели первых разностей (9.44) равна внутригрупповой оценке.

Оценка первых разностей является состоятельной оценкой [(-коэффициентов в модели с фиксированными эффектами. Оценка первых разностей будет состоятельной, если . Это условие является более строгим, чем , и менее слабым, чем строгое экзогенное условие, необходимое для состоятельности внутригрупповой оценки. Однако оценка первых разностей менее эффективна, чем внутригрупповая оценка для случая Т > 2 при условии, что ошибки си являются независимыми, одинаково распределенными величинами с нулевым математическим ожиданием и дисперсией ?;?.