Сюжет «Алиса vs Мелькоров»

Применим рассмотренные выше методы к сюжету, развивающемуся вокруг разговора Алисы с Григорием Элемовичем Мелькоровым.

Напомним, что перед нашей героиней ставится вопрос, согласится она или нет принять в качестве подарка чужую «не халтурную» диссертацию, преподнесенную ей некоторой внешней силой. Данную силу в нашем сюжете олицетворяет «не просто человек» Григорий Мелькоров. Будем надеяться, что поклонники Джона Рональда Толкина простят нам несколько вольное отношение к первоисточнику зла «толкиновской» мифологии. Итак, у Алисы есть две стратегии:

• • «Yes» — согласить воспользоваться «не своим» готовым научным трудом (нечестное поведение);
• • «No» — отказаться от сомнительного предложения (честное поведение).

Далее следует описание последовательности рассуждений. Алиса пытается угадать цели Мелькорова. С некоторой долей условности выделим четыре принципиальных варианта, которые мы можем считать стратегиями игрока 2 (Мелькорова).

• •  — убедить Алису в своей правоте. Если Алиса проявляет конформизм и соглашается (выбирает стратегию «Yes»), то она поощряется (+1). В случае выбора стратегии «No» она, наоборот, наказывается (-1).
• • — стимулирование честности Алисы. Нечестное поведение Алисы («Yes») наказывается (-1), честное поведение («No») — поощряется (+2). Разумеется, предлагаемые нами конкретные значения платежей небесспорны, но дадим шанс «силам зла» в этой игре проявить незначительное великодушие.
• •  — стимулирование нечестности Алисы. Склонность Алисы к нечестному поведению («Yes») поощряется (+1), готовность отстаивать свои принципы («No») наказывается (-2).
• • — проверка деловых качеств Алисы на предмет возможного сотрудничества. Если Алиса «склонна к незаслуженным подаркам» («Yes») — результат 0, если она честна и трудолюбива («No») — она получает бонус (+3).

Матрица игры показана в табл. 1.6. Дополнительно подчеркнем, что мы сознательно упрощаем содержание анализируемого сюжета, делая его антагонистическим и полагая, что победа Алисы равна поражению Мелькорова и наоборот. В частности, достаточно спорным представляется допущение, что в ситуации, когда Мелькоров хочет проверить деловые качества Алисы () и она выберет «N0», он проиграет (3 единицы), а она столько же выиграет. Здесь читателю просто предлагается согласиться с этим как с некоторой условной данностью, необходимой для корректного изложения математического аппарата.

Таблица 1.6

Анализ сюжет «Алиса vs Мелькоров» .

Отметим, что данная игра не имеет седловой точки. Действительно,.

Найдем седловую точку (равновесие) в данной игре в смешанных стратегиях. Пусть.

• • p = ( () — смешанная стратегия Алисы; напомним, что — это вероятность, с которой Алиса играет первую стратегию («Yes»), т. е. соглашается принять «незаслуженный подарок» ;
• • q ⁼ (;  — смешанная стратегия Мелькорова, выбирая которую, он играет с вероятностью , — с вероятностью

Поскольку Алиса имеет только две стратегии, выбор любой ее смешанной стратегии р однозначно задается выбором вероятности с которой она будет играть первую чистую стратегию «Yes» (вероятность, с которой она будет играть свою вторую чистую стратегию «No», автоматически задается как р₂ = 1 — ). Тогда функции полезности Алисы (p, q) можно рассматривать как функции одной переменной .

Значения функций полезности Алисы в ситуациях, когда она применяет смешанную стратегию р = (р₁; 1 — против чистых стратегий оппонента (Мелькорова), будут иметь вид

где j 𝜖 {1,…, 4}.

Таким образом, для конкретных значений а_ij из табл. 1.6 получаем:

Каждая из функций (, {j}) возвращает математическое ожидание значения полезности (выигрыша-проигрыша) Алисы в зависимости от выбираемого ею значения против чистых стратегий Мелькорова. Поведение функций (, {j}) может быть изображено графически (рис. 1.1). Поскольку является вероятностью, то мы можем ограничиться рассмотрением интервала [0, 1|. Как уже говорилось ранее, при нахождении оптимальной смешанной стратегии Алисы можно ограничиться рассмотрением ситуаций, в которых ее оппонент применяет одну из своих чистых стратегий. Нижняя огибающая графиков (, {j}) (выделенная пунктирная линия) задаст полезности игрока 1 при наихудших для него исходах (в зависимости от значения параметра ), или, как еще говорят, гарантированные полезности игрока 1. Например,.

Рис. 1.1. Графическое решение игры «Алиса vs Мелькоров» .

вертикальная линия, проведенная через точку = 0,5, демонстрирует, что.

(1.24).

Выбор стратегии р' = (, 1 — p') = (0,5; 0,5) по существу означает, что Алиса с равной вероятностью как принимает предложение Мелькорова («Yes»), так и отказывается от него («No»). Из неравенств (1.24) следует, что наилучший результат такая стратегия дает против четвертой чистой стратегии Мелькорова (), наихудший — против третьей ().

Тогда, руководствуясь принципом максимина, оптимальную стратегию ( нужно выбирать таким образом, чтобы она соответствовала наивысшей точке на нижней огибающей. Это означает максимизацию гарантированной полезности игрока 1, т. е. полезности, на которую он может рассчитывать при наихудших для него исходах (при оптимальном поведении оппонента).

В нашем примере точка образуется пересечением графиков ( ,{3}) и (, {2}), отвечающих ожидаемым полезностям Алисы в ситуациях, в которых оппонент применяет стратегии и . Приравнивая.

получаем.

Таким образом, для заданной в табл. 1.6 матрицы, А оптимальная смешанная стратегия Алисы имеет вид.

это означает, что при многократном повторении игры, состоящей в предложении ей в качестве «подарка» готовой диссертации со стороны господина Мелькорова, ей нужно с вероятностью две трети (в двух третях розыгрышей) принимать это предложение (стратегия «Yes»), а с вероятностью одна треть (в оставшейся части розыгрышей) — отказываться (стратегия «No»). При этом, как несложно подсчитать, се полезность будет равна.

Ну что же, без выигрыша, но и без убытка.

Определим теперь оптимальную смешанную стратегию игрока 2. Здесь по существу используется тот факт, что задача поиска оптимальной (максиминной) статегии Алисой и задача поиска оптимальной (минимаксной) смешанной стратегии Мелькоровым могут быть сведены к парс взаимно двойственных задач линейного программирования. Опираясь на одну из теорем о свойствах взаимно двойственных задач (так называемую теорему равновесия, см., например, работу [7]), можно утверждать, что номера чистых стратегий Мелькорова, которые будут использоваться в его оптимальной смешанной стратегии (q* с ненулевыми вероятностями, определяются номерами линий, пересечение которых «порождает» точку . В нашем примере это линии, соответствующие чистым стратегиям (3) и (2) (см. рис. 1.1), т. е. чистые стратегии (1) и (4) в оптимальной смешанной стратегии игрока 2 не используются (применяются с нулевыми вероятностями). Тогда она имеет вид.

откуда, принимая во внимание, что + + + ⁼ 1, получаем.

Значения полезностей игрока 2 в ситуациях, когда он применяет свою смешанную стратегию q* против первой и второй чистых стратегий игрока 1, принимают вид.

Приравняв.

находим.

или.

из чего следует, что оптимальным (в предложенных условиях) для Григория Элемовича оказывается равновероятный выбор между и , т. е. выбор между стимулированием честности Алисы и стимулированием ее нечестности. Откровенно говоря, это вполне предсказуемый сценарий действий для «абстрактного зла» .

Еще раз подчеркнем, что не следует абсолютизировать полученные результаты и делать скоропалительные пессимистические выводы о том, что «зло торжествует в двух третях случаев» .

Найденные конкретные значения оптимальных стратегий игроков (Алисы и Мелькорова) определяются исключительно конкретными значения матрицы игры, А (см. табл. 1.6), установленными нами достаточно произвольно. Также не нужно забывать про «небесспорность» описания взаимоотношения этих двух персонажей в форме антагонистической (матричной) игры.