Сюжет «Действия ВИЧа в случае отказа от сделки» — динамическая игра с несовершенной информацией

Несовершенная информация, безусловно, является фактором, затрудняющим процесс исследования игры. Продемонстрируем это с помощью следующего примера. Рассмотрим сюжетную линию книги, связанную с выбором Василием Ивановичем Чаплиным (ВИЧ) стратегии ответных действий после отказа Алисы от сделки. Что в действительности замышлял эпический герой эпохи первичного накопления, так и осталось загадкой. Это, однако, не лишает нас права на гипотетический анализ его возможных шагов.

По существу у него есть три варианта поведения (рис. 8.2):

- сказать «стоп» и оставить Алису в покое;

 — попытаться «взять Алису на испуг», прибегнув к пустым угрозам, за которыми ничего не последует в случае повторного отказа Алисы;

- перейти к активной борьбе, т. е. не просто выдвинуть угрозу, но и реализовать ее в случае повторного отказа Алисы.

Рис. 8.2. Игра: действия ВИЧа в случае отказа от сделки.

В соответствии со схемой игры, представленной на рис. 8.2, при выборе ВИЧем стратегии © («стоп») игра завершается: полезность первого игрока (ВИЧ) равна (-1) (он не получил вожделенного научного текста), полезность второго игрока.

(Алиса), наоборот, равна единице (она не лишилась результатов своего труда). При этом игра завершается на первом этапе и от второго игрока не требуется никаких действий.

В случае использования ВИЧем его второй либо третьей стратегии ( или ) игра переходит либо в вершину 2, либо в вершину 3, в которых право хода принадлежит второму игроку. Однако обратим внимание на одну существенную особенность описываемого сюжета: Алиса не может установить, какую именно стратегию использовал ее оппонент. Она получает повторное предложение с угрозами, но являются ли они мнимыми или реальными, ей неизвестно. Таким образом, мы здесь сталкиваемся с новым качеством динамической игры, а именно с несовершенством информации.

В данном случае информационное множество второго игрока (Алисы), в котором она принимает решение о том, соглашаться или нет (стратегии Yes или No) с «повторным угрожающим» предложением ВИЧа, состоит из двух элементов: вершин 2 и 3. На рис. 8.2 информационное множество изображено в виде пунктирного эллипса, объединяющего вершины 2 и 3.

Полезности игроков заданы исходя из следующих соображений.

• • Если ВИЧ берет на вооружение стратегию «пустых угроз» (), то в случае согласия Алисы (Yes) он получает 2, в случае ее отказа (No) (-1); сама Алиса, поддавшись пустым угрозам (Yes), имеет полезность (-1), не поддавшись (No) и одержав моральную победу над злодеем, получает заслуженный приз 1.
• • Если угрозы ВИЧ реальны и требуют затрат на свою реализацию (выбрана стратегия ), то в случае согласия Алисы (Yes) он получает 1 (полезность от диссертации 2 за вычетом единицы затрат на подготовку мер давления, которые, впрочем, не нужно доводить до печального конца), в случае отказа Алисы (No) (-3) ((-1) — так как диссертация не получена и (-2) — на «месть по полной программе»). Алиса, выбрав Yes, остается без диссертации и с полезностью (-1), выбрав No, несет некоторый неприемлемый ущерб, представленный значением (-10).

Итак, Алиса, принимая решение, не знает, в какой именно вершине (2 или 3) она находится. Однако она может иметь некоторое представление об этом. Под представлением в данном случае понимается некоторое вероятностное распределение, задаваемое на информационном множестве. На рис. 8.2 представление Алисы задано с помощью следующих величин:

• • р — вероятность нахождения Алисы на момент совершения хода в вершине 2 (ВИЧ применил стратегию «пустые угрозы»);
• • 1 — р — вероятность нахождения Алисы на момент совершения хода в вершине 3 (ВИЧ применил стратегию «реальные угрозы»).

Проведем простейший анализ описанной игры. Если второй игрок (Алиса) считает, что она находится в вершине 2, то ей нужно выбирать стратегию No (1 > -1). Наоборот, если Алиса считает, что игра пришла в вершину 3 (угрозы реальны), то ей нужно выбрать стратегию Yes (-1 > -10).

Если, основываясь на этих соображениях, свернуть игру от оконечных вершин к вершинам 2 и 3, мы получаем, что ВИЧ при использовании стратегий («стоп») и («пустые угрозы») получит (-1), а при стратегии («реальные угрозы») (+1). Таким образом, напрашивается вывод, что ему следует играть последнюю стратегию, что приводит к вершине 3, где Алисе следует играть Yes и полезности участников составят (+1) и (-1) соответственно. Однако если ВИЧ уверен, что Алиса сыграет Yes, то для него более выгодной оказывается ситуация, в которой он играет стратегию («пустые угрозы»), так как 2 > 1.

В общем случае метод обратной индукции не позволяет найти совершенное под-игровое равновесие в играх с несовершенной информацией.

Исходя из представлений Алисы, ее стратегический выбор между Yes и No, основывающийся на представлении (р, 1 — р) должен осуществляться на основе условия.

(8.1).

где (-1)• р + (-1)• (1 — р) — математическое ожидание полезности Алисы при выборе Yes (с вероятностью р выбор происходит в вершине 2, с вероятностью 1 — р — в вершине 3); 1• р +(—10) • (1 — р) — математическое ожидание полезности при выборе No.

Из условия (8.1) получаем, что в равновесии Алисе следует играть Yes (соглашаться на сделку с ВИЧсм), если согласно ее представлениям вероятность того, что она находится в вершине 2 (против нее используются только пустые угрозы),.

Наоборот, в противном случае, т. е. когда она считает, что вероятность ее нахождения в вершине 2 больше критического порога 9/11, следует играть N0.

* * *.

В том случае, если игроки помнят все выполненные ими ходы, игры называют играми с идеальной памятью.

Вообще говоря, требование идеальной памяти соблюдается не всегда. В качестве примера игры без идеальной памяти может быть приведен сюжет с одалживанием Петькой у Алисы ста рублей (до зарплаты или до кредита). В этой игре по крайней мере один игрок точно не помнит ранее сделанные ходы…

Важным подклассом динамических игр с несовершенной информацией являются игры с почти совершенной информацией.

Игры называют играми с почти совершенной информацией (или многоэтапными играми с наблюдаемыми действиями), если их можно разбить на конечное число этапов (t I {1, …, T}), каждый из которых представим в виде одной или нескольких статических игр.

В таких играх участники на каждом из этапов? одновременно совершают свои ходы, однако предыстория разыгрывания всех предшествующих этапов 1,…, t — 1 является общеизвестной. Заметим, что здесь в отличие от ранее рассмотренных нами повторяющихся игр не предполагается, что на каждом этапе разыгрывается одна и та же базовая игра. В то же время и в повторяющихся играх присутствует фактор несовершенства информации, так как в них на каждом этапе игроки принимают решения одновременно и независимо друг от друга.

Принципиальным достоинством игр с почти совершенной информацией является возможность применения в них для поиска равновесия алгоритма обратной индукции. Это возможно потому, что каждая статическая игра, рассматриваемая на очередном из этапов, инициирует только одну из под-игр. Справедливо следующее утверждение.

В играх с почти совершенной информацией и конечным множеством ходов множество решений, найденных с помощью алгоритма обратной индукции, совпадает с множеством совершенных под-игровых равновесий.

Классическим примером игры с почти совершенной информацией является модель «инвесторы и банк» («набеги на банки»), предложенная Дугласом Даймондом (Douglas W. Diamond) и Филипом Дибвигом (Philip Н. Dybvig) в 1983 г., см. работу [20]. Она представляет двухэтапную игру с двумя участниками-инвесторами. На каждом этапе игроки независимо друг от друга принимают решение оставлять или забирать изначально помещенные ими в банк денежные средства. Банк, в свою очередь, инвестирует средства в некоторый проект, который может принести доход только в том случае, если оба инвестора не заберут свои средства до конца второго этапа. Более подробную информацию по модели Даймонда — Дибвига можно найти, например, в работах [13, 24]. Вывод, получаемый на основе анализа равновесий, существующих в модели Даймонда —Дибвига, сводится к тому, что нужно забирать свой вклад, если считаешь, что другой игрок также будет забирать свой, и оставлять, получая тем самым больший доход, если предполагаешь, что партнер поведет себя таким же образом.

В общем случае в играх с почти совершенной информацией может не существовать равновесия в чистых стратегиях, что порождает задачу определения для них «аналога» понятия смешанных стратегий, которые ранее рассматривались нами для статических игр. Заметим, что при решении данной задачи возможны два принципиальных подхода.

• • Построить нормальную (стратегическую) форму для исходной динамической игры с почти совершенной информацией и, следовательно, в явном виде перечислить чистые стратегии игроков. После этого строится смешанное расширение и над множествами чистых стратегий стандартным образом задаются смешанные стратегии.
• • Вместо рандомизации стратегий провести рандомизацию действий игроков раздельно во всех вершинах, где им принадлежит ход. Иначе говоря, допустить, что игроки могут выбирать различные действия с той или иной вероятностью.

Стратегии игроков в динамической игре, предполагающие рандомизацию их действий, называют поведенческими.

Вероятностные распределения, определяющие поведенческие стратегии, задаются для всех информационных множеств всех игроков. При этом считается, что они статистически независимы для различных информационных множеств.

Задумаемся, к примеру, над тем, как будет выглядеть поведенческая стратегия Василия Ивановича Чаплина в рамках только что рассмотренного примера. Поскольку речь идет о практическом приложении вероятностных распределений, мы должны представить некоторую статистически повторяющуюся динамическую игровую ситуацию. Вряд ли «диссертационная история» с Алисой может служить удачным примером чего-то регулярно повторяющегося. Но если в обобщенно-ретроспективном ключе взглянуть на небедный жизненный путь Василия Ивановича, несложно допустить, что схожих по форме и содержанию историй на этом пути было немало. При этом, скорее всего, арсенал имевшихся в его распоряжении средств не отличался от стратегий , и . Тогда применение Василием Ивановичем поведенческой стратегии означает, что он изначально (на каком-то очередном этапе жизненного пути) выбирает набор вероятностей pi, р₂, рз и с частотами, асимптотически приближающимися к ним, играет «стоп» (), «пустые угрозы» (), «реальные угрозы» (). Аналогичным образом со своими Yes и No может обходиться Алиса.

Справедлив фундаментальный результат, принадлежащий Гарольду Куну (Harold W. Kuhn), см. работы [11, 12, 19]: в играх с идеальной памятью использование поведенческих стратегий эквивалентно использованию смешанных стратегий, полученных рандомизацией чистых стратегий.

Завершая разговор о роли информации в играх, кратко коснемся основного движущего сюжета нашей книги — истории взаимоотношений Алисы Журавлевой и «более чем человека» Григория Элемовича Мелькорова. Он, в общем-то, несет несложную, но принципиальную смысловую нагрузку. В какой-то момент господин Мелькоров переоценил свои возможности по обладанию информацией, вследствие чего развился сюжет, явно непредусмотренный его первоначальными планами. Хотелось всего лишь проверить силу характера и принципов Алисы Журавлевой, имевшей неосторожность попасть в сферу его внимания, а в результате состоялся фантасмагорический эксперимент по предложению Алисе ее же собственной работы.

На рис. 8.3 представлена схема игры в том виде, как она замышлялась Григорием Элемовичем, а на рис. 8.4 — так, как она была разыграна в действительности. В последнем случае господину Мелькорову приходится действовать в условиях несовершенства информации (в неодноэлементном информационном множестве).

Игрок, не предусмотревший возможность ненаблюдаемого им хода Природы, не вполне представляет, в какую игру он играет.

Разумеется, этот вывод не отменяет значимость ранее изученных нами игровых моделей с полной и совершенной информацией. Они во многих случаях могут быть с успехом применены на практике. И все-таки, нельзя забывать о том, что практика может в какой-то момент оказаться непредсказуемой и Природа уже успела сделать свой ход до нас…

Рис. 8.4. Алиса vs Мелькоров, ход Природы.