Основы теории эволюционных игр

В результате освоения данной главы студент должен:

знать

• • принципиальные проблемы, возникающие при конструировании механизмов достижения равновесных состояний в игровых моделях, а также основные способы их разрешения;
• • основные идеи и принципы эволюционной теории игр;
• • определение понятия «эволюционно устойчивая стратегия» и основные свойства данной стратегии;

уметь

• находить решения для простейших эволюционных игр класса «ястребы — голуби» ;

владеть

• • базовыми навыками практического применения экономикоматематических моделей, основанных на простейших эволюционных играх;
• • терминологическим аппаратом, позволяющим самостоятельно осваивать научную и профессиональную литературу, посвященную проблематике теории эволюционных игр.

В гл. 3 во время обсуждения свойств равновесия по Нэшу отмечалась серьезная проблема, связанная с данным понятием, — проблема обоснования, почему предсказуемым результатом игры должна становиться именно равновесная по Нэшу ситуация. Более того, неоднократно было продемонстрировано, что равновесий может быть несколько, в том числе бесконечно много, а некоторые из них могут «не дружить» с банальным здравым смыслом.

В данной главе мы кратко остановимся на одном из направлений теории игр, занимающимся вопросами достижения равновесных и устойчивых ситуаций в игровых моделях, а также проблемами рациональности или нерациональности поведения игроков. Оно получило название эволюционной теории игр.

Классический пример механизма в модели дуополии по Курно был рассмотрен в гл. 4. Однако он далеко не бесспорен. Как уже отмечалось, сходимость наилучших ответов игроков к точке равновесия в общем случае для модели Курно не гарантирована и зависит от конкретного вида функций полезности игроков. Помимо этого нельзя не признать, что данная модель носит исключительно теоретический характер и на практике затруднительно поверить в то, что реальные фирмы в условиях современного рынка будут вести себя «по Курно». Динамика наилучших ответов основывается на гипотезе, что в очередном периоде фирма-конкурент продолжает выпускать продукцию в том же объеме, по которому был рассчитан наилучший ответ. В то же время, если конкурент ведет себя «активно» и меняет свой выпуск на очередном шаге, то ответ, основывающийся на информации предыдущего шага, скорее всего не будет «наилучшим» .

Одна из концепций механизмов достижения равновесных или рационально объяснимых ситуаций в игре строится на идее, что игроки могут достигнуть желаемого (равновесного) состояния в результате процесса обучения.

В качестве конкретного примера обучающих процедур могут быть названы процедуры фиктивного разыгрывания. Под фиктивным разыгрыванием понимается некоторое правило выбора игроками наилучших ответов с учетом наблюдаемых ими частот, с которыми их оппоненты используют те или иные стратегии. Также при фиктивном разыгрывании может использоваться адаптивное обучение. Адаптивное обучение — многошаговый процесс, предполагающий прогнозирование выбора стратегий оппонентом с помощью некоторого вероятностного распределения. На каждом шаге игры происходит корректировка этого распределения таким образом, чтобы тем стратегиям, которые не игрались достаточно долго, приписывались достаточно малые вероятности.

Вообще говоря, ситуация, достигаемая в результате обучения, не обязательно может быть равновесием по Нэшу. Можно привести немало примеров из жизни, в которых игроки сходятся к некоторому относительно приемлемому, но неравновесному варианту и «не ищут добра от добра» .

Одна из задач теоретических исследований процедур фиктивного разыгрывания состоит в определении условий их сходимости к равновесию по Нэшу. В частности, Д. Фуденбергом (Drew Fudenberg) и Д. Крепсом (David М. Kreps) было показано (см. работу [23]), что ситуация строгого равновесия по Нэшу, реализовавшаяся на некотором этапе фиктивного разыгрывания, будет играться на всех последующих этапах.

Под строгим равновесием по Нэшу понимается такая ситуация s* = (), в которой все являются единственно возможными наилучшими ответами на подситуацию

Заметим, что ситуация строгого равновесия может быть только в чистых стратегиях.

Модели, основанные на концепции обучения, предполагают, что игроками последовательно выполняются некоторые действия (выбираются стратегии), оптимизирующие их положение. В отличие от них модели, построенные на концепции эволюции, нс предполагают сознательного оптимизационного подхода со стороны отдельных игроков. Считается, что их «конкурентные столкновения» определяют эволюцию, в ходе которой отбираются участники, действующие оптимально.

Толчком для развития эволюционного подхода стали идеи, пришедшие из биологии. Основоположником эволюционной теории игр считается английский ученый Джон Мейнард Смит (John Maynard Smith), известный своими работами в области биологии и генетики, в которых нашли активное применение методы теории игр (см. работы [45—47]). В основании концепции равновесия, предложенной Смитом, лежит понятие эволюционно устойчивой стратегии.

Традиционно она объясняется в «биологических» терминах. В рамках эволюционных моделей рассматриваются некоторые популяции игроков (агентов, особей и т. п.). В популяциях их члены могут быть разделены на группы (категории) в соответствии с используемыми ими стратегиями. В данном случае стратегия может быть интерпретирована как некоторый устойчивый тип (стиль) поведения, который остается неизменным в течение относительно продолжительного периода.

Нельзя не признать, что мы нечасто становимся свидетелями того, как выбор стратегий (линий поведения) в человеческом обществе или животном мире осуществляется на основе решения задач оптимизационного типа. Скорее, мы чаще оказываемся свидетелями обратного. Нередко предметом выбора становятся не лучшие, а «популярные» стратегии. К таковым, как правило, относятся стратегии, которые оказались успешными в прошлом (в предшествующих турах игр). Например, абитуриент, выбирающий будущую специальность, как правило, ориентируется не на прогноз рынка труда через пять — семь лет, а на опыт друзей, родителей, знакомых, накопленный в прошлом.

Данное рассуждение является достаточно убедительным оправданием подхода, предполагающего построение классификаций членов популяции, но тем стратегиям, которых они придерживаются.

Наиболее простыми примером популяций служат так называемые биморфные популяции, подразделяющиеся па две категории:

• • игроки (особи) стандартного типа, выбирающие «укоренившуюся» (традиционную) стратегию s;
• • мутантные игроки, выбирающие мутантную стратегию s'.

Предполагается, что периодически стандартный режим существования популяции, подразумевающий использование традиционной стратегии (линии поведения особей), испытывает возмущающие воздействия со стороны мутантных особей, пытающихся использовать новую (мутантную) стратегию. Это создает эволюционный механизм развития популяции, т. е. при одних условиях традиционная стратегия будет оказываться устойчивой и успешно противостоять «вторжению мутантов», а при других, наоборот, может быть побеждена мутантной стратегией.

Эволюционный механизм можно описать следующим образом. Обозначим через e долю «мутантов» в популяции. Предположим, что борьба стратегий реализуется в виде серии игр с двумя участниками, выбираемыми из популяции случайным образом. Тогда для каждого из игроков вероятность того, что его оппонентом окажется «мутант», равна e, «не мутант» — 1-e. Это позволяет представить оппонента по игре как игрока, применяющего смешанную стратегию (1 — e, e), где 1 — e — вероятность использования стратегии s, e — вероятность использования стратегии s'.

Ожидаемая полезность игрока, применяющего традиционную стратегию, при встрече со случайно выбранным партнером составит u (s, (1 — e, e)), ожидаемая полезность «мутанта» u (s', (1 -e, e)).

Стратегию s называют эволюционно устойчивой, если для любой стратегии s' ¹ s существует такое I ]0,1[, что для любых I ]0, [ выполняется.

Другими словами, при «столкновении» с мутантными стратегиями при достаточно малом (ограниченном) числе мутантов е эволюционно устойчивая стратегия должна быть более успешной. В случае если функция полезности u (°) является непрерывной, несложно показать, что эволюционно устойчивая стратегия оптимальна против самой себя.