Оценка текущей стоимости многопериодных рисковых инвестиций на основе формулы Блэка — Шоулза

Рассмотрим возможности применения формулы Блэка — Шоулза к оценке инвестиций реального бизнеса, который приносит рисковые доходы в течение определенного, достаточно длительного периода времени. Для использования формулы Блэка —Шоулза с целью оценки подобных инвестиций промоделируем потоки доходов от инвестиции в форме потока доходов портфеля опционов, который будет содержать опционы, имеющие различные сроки до погашения, по числу рассматриваемых периодов времени. При использовании формулы Блэка —Шоулза для оценки рисковых доходов будущих периодов будем считать, что текущая стоимость базового актива для всех опционов одинакова, а цены исполнения меняются по периодам.

Для простоты сначала будем полагать, что речь идет об опционах на один и тот же базовый актив. Пусть известен максимальный срок исполнения по рассматриваемым опционам. Его обозначим через Ти будем считать, что портфель опционов содержит ровно Т их видов, причем срок исполнения опционов обозначим через t, где t = 1,2,…, Т. Все опционы имеют одну и ту же текущую цену базового актива; цена исполнения для опциона зависит от периода; волатильность одинаковая для всех опционов. Если учесть, что C (t) — текущая стоимость опциона со сроком исполнения t лет, то текущую стоимость портфеля опционов европейского типа с учетом рисковых доходов всех рассматриваемых периодов, определенную с учетом формулы Блэка — IНоулза, запишем так:

Применим формулу (14.5) для оценки рисковых доходов некоторой инвестиции. Аналогично предыдущему будем считать, что потоки будущих доходов независимы, но периодам, а текущая или настоящая ценность этих доходов равна сумме текущей ценности всех рассматриваемых потоков доходов в периоды t = 1,2,…, Т. Обозначим через C (t) текущую стоимость доходов года t, которая рассчитывается по формуле (14.1). Тогда, учитывая формулы (14.1) и (14.5), получим:

где С^В(Т) — текущая стоимость рисковых доходов от инвестиции, обеспечивающей рисковые доходы в течение Г периодов; z, — параметр формулы Блэка — Шоулза для периода t; S — текущая стоимость будущих доходов, одинаковая для всех периодов^[1]; X, — цепа исполнения инвестиции для периода t, t = 1,2,…, Т а — волатильность будущих доходов от инвестиции.

Учитывая определение величины z_t по формуле (14.1), правую часть выражения (14.6) можно записать в следующем виде:

Основная проблема применения формулы вида (14.6) или (14.7) для оценки рисковых инвестиций или в более широком смысле — для оценки текущей стоимости рисковых активов капитала или стоимости бизнеса в целом, связана с обоснованием и интпретацией переменных и параметров этих формул. Выше это было показано на примере оценки будущей инвестиции. Параметр S часто интерпретируют как расчетную текущую или настоящую стоимость будущих доходов, параметр X_t — как сумму инвестиционных или иных расходов, которые нужно осуществить в период t, чтобы получить соответствующие доходы.

Поясним особенности расчетов по приведенной формуле на следующем примере.

Пусть рассматривается бизнес, деятельность которого планируется на четыре года, t = 1, 2,3,4. Это означает, что в правой части формулы (14.7) выделены четыре слагаемых. Будем считать, что текущая стоимость будущих доходов, которая меняется далее случайным образом, составляет 80 млн руб. Предположим, что цены исполнения, определяемые на уровне условно-постоянных расходов, изменяются по периодам так, как показано в табл. 14.4.

Таблица 14.4

Условно-постоянные расходы по проекту, млн руб.

Пусть безрисковая ставка процента составляет 15%, а волатильность цены базового актива положим равной 0,2, или 20%. Для определения стоимости бизнеса применим формулу (14.7). При этом каждое отдельное слагаемое оценивается по обычной формуле Блэка —Шоулза (14.1). Общая оценка текущей стоимости будущего рискового распределения доходов составляет сумму оценок в соответствии с формулой (14.7).

По формуле (14.1) определим значения параметра z_t для всех четырех периодов. Например, для периода исполнения один год имеем:

Соответственно, второй параметр формулы Блэка Шоулза для первого года составит:

Аналогично определяются значения параметров z_t для доходов всех рассматриваемых периодов второго, третьего и четвертого годов. Их конкретные значения представлены в табл. 14.5.

При расчетах значений функции стандартного нормального распределения F (z) для всех четырех рассматриваемых периодов была использована встроенная функция пакета Microsoft Excel «НОРМСТРАСП», позволяющая рассчитывать значения функции стандартного нормального распределения. Все исходные данные для всех четырех рассматриваемых периодов, а также результаты расчетов промежуточных параметров или расчетных показателей, необходимых для вычислений по формуле Блэка — Шоулза, приведены в табл. 14.5.

Используя встроенную функцию «ЕХР» пакета Microsoft Excel, определим значения функции е~^п при заданной ставке процента для трех рассматриваемых периодов. Результаты расчетов представлены в табл. 14.6.

Используя данные табл. 14.5, относящиеся к первому году, определим настоящую стоимость рисковых доходов первого года по формуле Блэка — Шоулза. Учитывая значение функции е ^rt из табл. 14.6, получим:

Таблица 14.5

Исходные данные и расчетные показатели для оценки будущих доходов со сроками один, два, три и четыре года.

Таблица 14.6

Значения функции е ^rt

Текущая стоимость будущих доходов первого года планового периода, определенная с учетом формулы (14.1), составляет 15,08 млн руб.

Для будущих доходов второго года все исходные параметры, кроме самого периода и цены исполнения, сохраняются. Параметр z₂ рассчитаем по формуле (14.1) при условии, что t = 2:

Используя данные табл. 14.5, относящиеся к доходам второго года, определим настоящую стоимость этого потока доходов по формуле Блэка — Шоулза. Тогда получим:

Текущая стоимость доходов второго года, определенная с учетом формулы (14.1), составляет 19,41 млн руб.

Учитывая данные табл. 14.5, определим текущую стоимость доходов третьего года. По формуле Блэка — Шоулза имеем:

Текущая ценность рисковых доходов третьего года, определенная с учетом формулы (14.1), составляет 23,15 млн руб.

Аналогично для рисковых доходов четвертого года получим:

Учитывая полученные результаты промежуточных расчетов, можно определить текущую ценность рассматриваемого бизнеса по формуле (14.7), которую представим так:

Итак, текущая стоимость бизнеса, учитывающая рисковые потоки доходов четырех лет, каждый из которых оценен по формуле Блэка — Шоулза, составляет 84,15 млн руб.

Приведенный пример показывает, что поставленная задача определения текущей или настоящей стоимости будущих многопериодных рисковых доходов может быть довольно легко решена с помощью подхода, основанного на применении формулы Блэка — Шоулза. Предлагаемый подход можно рассматривать как некоторую аппроксимирующую текущую оценку будущих доходов, которая может быть использована при оценке целесообразности осуществления рисковых инвестиций, анализе и оценке текущей стоимости рисковых активов капитала или бизнеса в целом.

Подход, рассматриваемый в данной главе, получил свое определенное развитие начиная с 1986 г., когда в экономической литературе стало уделяться больше внимания оценке стоимости реальных опционов и одновременно обоснованию стоимости рискового капитала на основе непрерывных моделей, опирающихся на использование стохастических дифференциальных уравнений. Начало было положено в работах Р. Макдональда и Д. Сигела^[2], М. Бреннана и Э. Швартца^[3], Л. Тригеоргиса^[4] и др. В настоящее время результаты исследований в данном направлении имеют в значительной степени теоретический характер и требуют отдельного изложения и анализа. С практической точки зрения при оценке стоимости компании или рисковых активов капитала отдается предпочтение формуле Блэка — Шоулза по причине относительно меньшего объема исходной информации^[5].

• [1] В принципе можно рассмотреть и переменную текущую или настоящую стоимость рисковых доходов для каждого периода, оставляем это для самостоятельного анализа (см. практическое задание 5).
• [2] McDonald R., Siegel D. Investment and the Valuation of the Firms When There Is an Option to Shut Down // International of Financial Economics. 1985. Vol. 14. September. P. 399—422.
• [3] Brennan M., Scwartz E. Evaluating Natural Resource Investment // Journal of Business. 1985. Vol. 58. № 2. P. 135−157.
• [4] TiigeoigisL. Real Options: Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation. 4^th ed. Cambridge MA: MIT Press, 1999. 427 p.
• [5] РошДж. Стоимость компании. От желаемого к действительному: пер. с англ. Ми.: Гревцов паблишер, 2008. С. 172.