Игры с природой

Как уже запоминалось выше, многие задачи, содержащие неопределенность, не имеют конфликтного содержания. Проблемы возникают здесь в силу неопределенности объективной действительности, которзчо принято называть «природой», а соответствующие ситуации называют «играми с природой». Например, подобного рода задача возникает при планировании спроса на сезонные товары, который зависит от метеорологических условий, или в условиях конкуренции при планировании спроса на товар, когда конкурент уже удовлетворил неизвестную часть потребности в этом товаре.

Как уже было отмечено в параграфе 12.1, «игры с природой», или нестратегические игры, возникают, когда отсз’тствует конфликт между игроками и одному игроку приходится принимать решение в зависимости от состояния природы, которое, как правило, неизвестно. В этом слз’чае игрок не может предугадывать и планировать ходы противника исходя из предположения, что противник поступает наиболее неблагоприятным для пас способом. У противника нет стратегий, а есть только предполагаемые состояния, которые мы можем называть " стратегиями природы": PrPv., P".

Природа выступает в данном случае как игрок, не имеющий конкретной цели и выбирающий очередной ход случайным образом (т.е. ее ходы являются не личными).

Пусть основной игрок (игрок А) имеет т стратегий: Ах, А2,…, Ат.

Выигрыш игрока А при каждой паре А, Р. задан матрицей с элементами (табл. 12.7).

Таблица 12.7

Требуется выбрать такую стратегию игрока Л, которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими.

Решать эту задачу теми же методами, что и конфликтную игру, невозможно, так как имеются существенные качественные отличия.

Важным моментом в принятии решения является то, что матрица выигрышей не является определяющей при выборе оптимального решения, она не дает полной информации.

Выигрыш <2?. при стратегии игрока Л (. и при состоянии природы Pj может быть больше выигрыша aks при стратегии Ак и состоянии природы Р не только за счет удачного выбора стратегии /V игроком, а за счет того, что состояние природы Pj может быть выгоднее, чем состояние природы Р. Например, при продаже зонтиков состояние природы «дождь» выгоднее, чем " сухо" , при любой стратегии планирования спроса. Практически любая экономическая деятельность более выгодна при «нормальном» состоянии природы, чем при состоянии «тайфун» или «цунами» .

Поэтому при решении «игр с природой» вводят понятие риска, который показывает, насколько удачно выбрана данная стратегия в данной ситуации.

Риском игрока при пользовании стратегией Aj при состоянии природы Pj называется разность между максимальным выигрышем при состоянии Р. (который игрок получил бы, зная заранее состояние природы) и выигрышем при выборе стратегии Aj (при отсутствии априорного знания состояния природы), т. е.

(12.20).

Обратим внимание на то, что при наличии доминирующей стратегии игрока А, которая дает больший выигрыш при любом состоянии природы, чем другие стратегии, эту стратегию и следует выбирать.

Если же такой стратегии нет, то предварительное упрощение матрицы, отбрасывание дублирующих и заведомо невыгодных стратегий можно производить только по игроку А, нельзя уменьшать количество состояний природы Р

Рассмотрим следующую задачу.

12.7. При различных состояниях экономики предприятие, обладающее определенными возможными стратегиями планирования выпуска продукции, может получить раличный доход, который задан матрицей выигрышей (табл. 12.8). Требуется составить матрицу рисков предприятия.

Таблица 12.8

Состояние экономики Pj / Стратегии предприятия А
		И.

Используя формулу (12.20), получаем таблицу рисков предприятия (табл. 12.9):

Таблица 12.9

Состояние экономики Pj / Стратегии предприятия А
		И.

В последней таблице мы добавили столбец, в который записали максимальный риск, соответствующий выбранной стратегии (при самом неблагоприятном для этой стратегии состоянии экономики), т. е.

Если в конфликтных задачах теории игр мы выбираем оптимальную стратегию, руководствуясь лишь таблицей выигрышей, то в «играх с природой» существуют свои специфические (хотя и напоминающие принцип минимакса) принципы оптимального выбора решения. Существуют два подхода: получение максимального выигрыша или осуществление минимального риска, причем оба эти подхода применяются как в стохастических, так и в нестохастических задачах.

Если вероятности состояний «природы» ру …, рп известны или могут быть определены, то возникает стохастическая задача, для решения которой можно пользоваться критерием Байеса (Лапласа).

Выбирается стратегия игрока против природы, максимизирующая математическое ожидание его выигрыша.

Математически данный критерий формулируется следующим образом:

(12.21).

где ? — искомая оптимальная стратегия игрока; я.; - элементы матрицы выигрышей, а ру …, рп — вероятности состояний «природы» .

При этом оптимальная в смысле максимума выигрыша стратегия дает минимальный средний риск, т. е. на ней достигается

Если вероятности состояний «природы» в принципе существуют, но заранее неизвестны, то возможны следующие подходы:

• а) полагают все состояния равновероятными (принцип недостаточного основания Лапласа). Критерий (12.21) в этом случае называется критерием Лапласа;
• б) получение искомых вероятностей методом экспертных оценок;
• в) коррекция неточных значений вероятностей с помощью специальных экспериментов.

Продолжим рассмотрение задачи 12.7.

Предположим, что все состояния экономики равновероятны, т. е. в данном случае все вероятности р. = 0,25, и можно воспользоваться критерием Лапласа.

Для каждой из стратегий определим средний выигрыш и найдем его максимум:

Максимальный средний выигрыш 12 по критерию Лапласа дает стратегия Ау Рассчитаем средние риски для каждой из стратегий и найдем, при какой стратегии средний риск минимален.

Как и утверждалось выше, стратегия Ау определяющая максимальный средний выигрыш, дает и минимальный средний риск, равный 2.

Пусть в задаче 12.7 состояния экономики априорно не равновероятны, их вероятности заданы: рх = 0,3; р2 = 0,4; /?., = 0,2; рЛ = 0,1.

По критерию Байеса рассчитаем средние выигрыши и найдем, при какой стратегии достигается его максимальное значение:

Это стратегия А{.

Аналогично рассчитаем средние риски и найдем, какая стратегия дает минимальный средний риск:

Как и для выигрыша, оптимальной в смысле риска является стратегия Ау Для нестохастического случая, когда вероятности состояний природы либо не поддаются никакой разумной оценке, либо вовсе не существуют, предыдущие методы неприменимы.

Для таких ситуаций невозможно однозначно определить оптимальное решение и выбор соответствующего критерия субъективен; он зависит от важности задачи, точки зрения исследователя, от негативных последствий проигрыша. Однако и в этом случае критерии оптимальности базируются либо на принципе максимального выигрыша, либо на принципе минимального риска, либо на «взвешенном» сочетании обоих принципов.

1. Принцип крайнего пессимизма (критерий Вальда).

Согласно этому принципу «игра с природой» (принятие решения в условиях неопределенности) ведется как с разумным, агрессивным противником, делающим все для того, чтобы помешать игроку достигнуть успеха. Оптимальной считается стратегия, при которой гарантируется выигрыш не меньший, чем «разрешенный природой», т. е. не меньший, чем нижняя цена игры с природой:

(12.22).

Этот критерий ориентируется на принцип, что хуже не будет при любых условиях.

Применим этот критерий в задаче 12.7.

Добавим в таблицу выигрышей столбец, содержащий минимально возможный выигрыш по всем состояниям экономики для каждой стратегии (табл. 12.10).

В соответствии с формулой (12.22) определим, что максимальное значение достигается при использовании стратегии А,. Э го наиболее пессимистичный критерий.

Таблица 12.10

Состояние экономики Ру /. Стратегии предприятия At.

2. Принцип минимаксного риска (критерий Сэвиджа).

Этот принцип также пессимистичный, но при выборе оптимальной стратегии советует ориентироваться не на «выигрыш», а на риск. Напомним, что риск определяется как разность между максимальным выигрышем (при условии полной информации о состоянии природы) и реальным выигрышем (при незнании состояния природы). В качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой величина риска минимальна, т. е. оптимальная стратегия та, которая дает минимальный риск в наихудших условиях:

(12.23).

Эта стратегия тоже пессимистична, однако пессимизм здесь связан с риском, а не с выигрышем, как в критерии Вальда.

Применим этот критерий в задаче 12.7. Рассмотрим таблицу рисков для этой задачи (см. табл. 12.9).

Выберем в соответствии с формулой (12.23) ту стратегию, где достигается минимальный из максимальных по всем состояниям экономики риск. В данном случае S = min, ? = 4 достигается на стратегии Аг.

3. Принцип пессимизма-оптимизма (критерий Гурвица).

Этот критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом, ни крайним оптимизмом. Согласно критерию Гурвица максимизируется взвешенное среднее между выигрышами крайнего пессимизма и крайнего оптимизма, причем «вес» — коэффициент пессимизма h, заключенный между 0 и 1. Чем ближе h к 1, тем больше степень пессимизма.

В соответствии с критерием Гурвица оптимальная стратегия выбирается из условия.

(12.24).

При h = 1 критерий Гурвица совпадает с критерием Вальда, а при h = 0 предлагает выбирать ту стратегию, при которой самый большой выигрыш в строке максимален, так называемый критерий максимакса: a = max max ?(.•, т. е. рекомендует крайний оптимизм.

Выбор коэффициента h определяется более-менее интуитивно исходя из субъективных соображений об опасности ситуации, степени желательной «подстраховки», которая зависит и от характера задачи, и от характера игрока. Применим этот критерий в задаче 12.7, полагая h = 0,6 (небольшая склонность к пессимизму).

Максимальное значение достигается при выборе стратегии А4 (табл. 12.11).

Таблица 12.11

Состояние экономики Ру /. Стратегии предприятия At.
				e.	о.		9,6.
		И.					11,4.

Обратим внимание на то, что стратегию А. можно было изначально отбросить как заведомо невыгодную, поскольку выигрыши в пятой строке для каждого из состояний экономики являются минимальными. >

Результаты решения задачи 12.7 в нестохастическом случае показывают, что выбор оптимальной стратегии зависит от подхода к понятию «оптимальность», и в данном случае два критерия — критерий Сэвиджа и критерий Гурвица — указали на стратегию А4, а критерий Вальда, самый пессимистичный, — на стратегию Ау.