Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация

Федеральное агентство по образованию Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Кафедра КИСС Курсовая работа по дисциплине Микропроцессоры и цифровая обработка сигналов Дискретная обработка сигналов и цифровая фильтрация Красноярск 2011

Введение

сигнал цифровой фильтр Цифровые методы обработки информации все более широко внедряются во многие области техники связи и управления, в частности, в область фильтрации сигналов.

Это обусловлено тем, что эти методы обеспечивают значительно более высокую точность по сравнению с методами аналоговой обработки, а также тем, что цифровые устройства надежны и удобны в эксплуатации.

Особо важное место, среди различных методов фильтрации занимают линейные методы; устройства, реализующие цифровые методы фильтрации сигналов, получили название цифровых фильтров. На практике цифровые фильтры реализуются либо в виде программы на универсальной цифровой вычислительной машине, либо в виде специализированного вычислительного устройства с электронными схемами ввода и вывода информации.

По сравнению с аналоговыми фильтрами цифровые фильтры обладают рядом важных достоинств. К ним, прежде всего, относятся высокая стабильность и точность, не зависящие от воздействия внешних условий, простота изменения характеристик и возможность использования в качестве адаптивных устройств; при эксплуатации цифровых фильтров не возникают задачи согласования нагрузок, они могут работать в диапазоне сверхнизких частот; они могут обладать линейными фазовыми характеристиками и т. д.

Важно отметить, что цифровые фильтры практически реализуются на интегральных цифровых логических элементах, вследствие чего они могут быть компактными, недорогими и высоконадежными устройствами. Однако, следует отметить, что в отличие от аналоговых цифровым фильтрам присущи некоторые специфические погрешности, обусловленные дискретизацией и квантованием аналоговых сигналов (при выполнении арифметических операций в вычислительных устройствах).

Задание к курсовой работе состоит из двух частей. Первая часть включает подготовку аналогового сигнала к цифровой обработке и называется дискретной обработкой аналогового сигнала. Вторая часть посвящена цифровой фильтрации и содержит синтез ЦФ, анализ частотных временных характеристик ЦФ и расчет отклика ЦФ в виде выходной дискретной последовательности.

1. Представление аналогового сигнала Согласно варианту 20:

Рис. 1. Аналоговый сигнал Спектральная плотность аналогового сигнала Вычислим спектральную плотность аналогового сигнала, применив преобразование Фурье:

Тогда, Рис. 2 Спектральная плотность аналогового сигнала.

Спектр фаз аналогового сигнала Вычисление щв пороговым методом При определении верхней частоты спектра сигнала при щ>щ_в воспользуемся условием, что амплитуды спектральных составляющих не превышают уровня 0.1 от максимального значения.

Тогда верхняя частота (см. рис. 2):

Определение частоты дискретизации щd и числа отсчётов N

По теореме Котельникова щd=2щв.

Рис. 4. Дискретное представление сигнала во времени.

Восстановление сигнала по ряду Котельникова Выражение для ряда Котельникова:

Рис. 5. Восстановленный сигнал по ряду Котельникова.

Вычисление спектральной плотности дискретного сигнала Для расчета спектральной плотности дискретной последовательности, воспользуемся ДПФ:

Рис. 6. Спектральная плотность дискретного сигнала.

Z-преобразование дискретной последовательности

Z-преобразование определяется формулой:

В нашем случае аналоговый сигнал описывается 4мя функциями Хэвисайда.

1я и 2я сдвинуты относительно друг друга на 6 отсчетов. 3я сдвинута относительно первой на восемь отсчетов, а 4я на 13. Поэтому:

Делаем замену z=e^jwTd

Рис. 7. Модуль спектральной плотности дискретного сигнала, полученной на основе z-преобразования.

Определение дискретного преобразования Фурье. Построение графика комплексных коэффициентов C_k Восстановление аналогового сигнала, используя тригонометрический ряд Фурье.

Рис. 8. Отсчеты спектральной плотности полученной по ДПФ.

Рис. 9. Восстановленный сигнал по ДПФ.

Восстановление исходной дискретной последовательности применяя обратное ДПФ к С_К

Рис. 10. Исходная дискретная последовательность.

Анализ аналогового фильтра Беттерворта

1. Определение порядка Затухание в полосе задерживания согласно варианту

АЧХ фильтра Беттерворта:

Условие определения порядка фильтра сводится к условию выполнения необходимого затухания (?б) на удвоенной частоте среза и выглядит так:

Условие выполняется при порядке фильтра r=4.

2. Определение передаточной функции Для фильтра Беттерворта 4ого порядка она имеет вид

3. Расчет и построение временных характеристик аналогового фильтра Переходная и импульсная характеристики определяются через преобразование Лапласа системной функции.

Корни знаменателя передаточной функции:

Рис. 11. Переходная характеристика фильтра.

Рис. 12. Импульсная характеристика фильтра.

4. Синтез цифрового фильтра

1. Расчет системной функции При синтезе цифрового фильтра методом билейного z-преобразования его системную функцию K (z) определяют исходя из функции передачи аналогового фильтра прототипа K (p). Для этого производим замену:

(для упрощения вычислений заменяем z^-1=c)

2. Получение АЧХ фильтра Для этого делаем замену след вида c=z^-1=e^-jwTd.

Рис. 13. АЧХ аналогового фильтра и АЧХ цифрового фильтра Беттерворта.

3. Расчет импульсной характеристики.

Вернемся к с=z^-1:

Корни полинома знаменателя:

Обратное z-преобразование:

Рис. 14. Отсчеты импульсной характеристики ЦФ.

4. Прохождение дискретной последовательности, рассчитанной в первой части через ЦФ.

n=15.

Рис. 15. Результат прохождения ДС через ЦФ.

Выводы Данная курсовая работа состояла из двух частей. Первая часть включала подготовку аналогового сигнала к цифровой обработке. Выполняя её, я сделал следующие выводы:

1. При дискретизации аналогового сигнала его спектральная плотность становится периодической.

2. Ряд Котельникова устанавливает связь между дискретными отсчетами сигнала и его аналоговым представлением, таким образом, используя ряд и теорему Котельникова можно перейти от дискретных отсчетов к аналоговой форме.

3. Комплексные коэффициенты ДПФ С_K, вычисленные при помощи ПДПФ являются отсчетами спектральной плотности дискретного сигнала, суммируя их, используя обратное преобразование Фурье мы получим исходный аналоговый сигнал.

4. Z-преобразование позволяет облегчить получение функции спектральной плотности. Прейдя от Z к e^jwTd, мы получим спектральную плотность.

Вторая часть была посвящена синтезу ЦФ по заданному аналоговому фильтру-прототипу. Важнейшим фактором является необходимая величина затухания на удвоенной частоте среза. Относительно неё определяется порядок фильтра. Это даёт возможность перейти к системной функции, применяя к которой преобразование Лапласа, мы получим временные характеристики фильтра. Применяя билейное z-преобразование к системной функции АФ, мы получим системную функцию ЦФ. Стоит отметить, что при переходе от АФ-прототипа к ЦФ АЧХ становится периодической (см. рис. 13). Применяя к ней обратное z-преобразование мы получим временные характеристики ЦФ.

Полученный в конце работы результат прохождения дискретизированного сигнала через рассчитанный ЦФ Беттерворта 4ого порядка, позволяет сделать вывод о том, что фильтр Беттерворта является не самым лучшим. Во всяком случае, четвертый порядок обеспечивает малую точность.