Потоки платежей. 
Инновационный менеджмент

Потоки платежей — это платежи, последовательные во времени, например выплаты дивидендов, пенсии и т. д.

Регулярным потоком платежей (финансовой рентой, аннуитетом) называются платежи, у которых все выплаты направлены в одну сторону (например, поступления), а интервалы между платежами одинаковы.

Нерегулярным потоком платежей являются платежи, у которых хотя бы одно из двух перечисленных свойств не выполняется.

Наращенная сумма потока платежей — это сумма всех выплат с начисленными на них к концу срока сложными процентами.

Современная стоимость потока платежей — это сумма всех выплат, дисконтированных на начало срока этого потока по сложной процентной ставке.

Рассмотрим общий случай потока платежей. Пусть ряд платежей, имеющих знак «плюс» или «минус»;  — время выплаты под номером  — количество выплат;  — общий срок потока; а — сложная процентная ставка наращения, начисляемая один раз в году; выплаты производятся в конце периода (рис. 2.23).

Рис. 2.23. Схема выплат.

В соответствии с определением наращенная сумма такого потока платежей рассчитывается по формуле.

(2.30).

Современная стоимость потока платежей определяется соотношением.

(2.31).

Современную стоимость, определяемую соотношением (2.31), можно получить также дисконтированием наращенной суммы (2.30), т. е.

Действительно:

По моменту выплат в пределах между началом и концом периода финансовые ренты подразделяются следующим образом:

• • постнумерандо (обыкновенные), когда выплаты производятся в конце периода;
• • пренумерандо, когда выплаты производятся в начале периода;
• • ренты с платежами в середине периода.

Постоянной называется рента, выплаты которой не изменяются во времени.

Будем рассматривать в основном ренты постнумерандо. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет установлена позже.

Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты и начисления процентов один раз в конце года.

Найдем формулу для наращенной суммы годовой ренты. Такая задача формулируется следующим образом: в течение п лет в фонд (банк) в конце каждого года вносится по R руб., на которые начисляются сложные проценты по ставке а% годовых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются п — 1 год, на второй — п — 2 года и т. д. Наращенная сумма к концу срока будет равна.

Если посмотреть на это выражение справа налево, то можно увидеть, что оно является суммойгеометрической прогрессии со знаменателем прогрессии . Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле.

где R — первый член прогрессии; п — количество членов прогрессии.

Таким образом, наращенная сумма годовой ренты к концу срока определяется соотношением.

Часто эту формулу записывают в виде

где  — коэффициент наращения ренты, табу лированная функция.

Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо провести дисконтирование каждого платежа на начало срока ренты и сложить все эти платежи, т. е.

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии и с количеством членов прогрессии, равным п. Таким образом, современная стоимость годовой ренты вычисляется, но формуле.

Часто эту формулу записывают в виде.

где  — коэффициент приведения ренты, табулироваиная функция.

Пример 23. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых. Определите коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение

Коэффициент наращения ренты находится по формуле.

Наращенная сумма руб.

Коэффициент приведения ренты находится по формуле

Современная стоимость определяется соотношением.

Рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году является более общим типом ренты. Возможная схема выплат и начислений такой ренты представлена на рис. 2.24.

Рис. 2.24. Схема выплат ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.

Если выплаты производятся р раз в году, то такая рента называется р-срочной или рентой с неоднократными выплатами в году. В любом году производится р выплат по R/p руб., где R — годовая выплата. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты — п лет. Аналогично случаю годовой ренты находим соотношения для наращенной суммы и современной стоимости исследуемой ренты:

(2.32).

(2.33).

(2.34).

(2.35).

Из соотношений (2.32)-(2.35) следуют формулы для частного случая, когда количество начислений процентов в году равно количеству выплат в году. Подставив туда т = р, найдем:

Для случая годовой ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке соотношения для коэффициента наращения и коэффициента приведения получают из (2.32) и (2.35) при подстановке туда р = 1:

Пример 24. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лег, на которые начисляются проценты, но номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Определите коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение

Коэффициент наращения ренты находится по формуле.

Наращенная сумма

Коэффициент приведения ренты определим по формуле.

Современная стоимость фонда

Для р-срочной ренты формулы для коэффициента наращения и коэффициента приведения также находят из (2.33) и (2.35) при подстановке туда :

Пример 25. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце квартала. Определите коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение

Коэффициент наращения ренты находится, но формуле.

Наращенная сумма руб.

Коэффициент наращения ренты находится по формуле.

Современная стоимость фонда руб.

При расчете характеристик рент с выплатами в начале и в середине периодов используются характеристики аналогичных рент постнумерандо. При выплатах в начале периода (рента пренумерандо) наращенная сумма и современная стоимость ренты определяются выражениями.

где  — наращенная сумма ренты соответственно пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году;

где  — современная стоимость ренты соответственно пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.

Для ренты с выплатами в середине периода имеем:

где  — наращенная сумма ренты с выплатами в сере дине периода и ренты постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно;

где  — современная стоимость ренты с выплатами в середине периода и ренты постнумерандо с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно.

Отложенными называются рейты, у которых начало выплат сдвинуто вперед. При расчете современной стоимости такой ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начато выплат, а затем дисконтируют полученный результат к началу отложенной ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость рассчитывается по формуле.

где, А — современная стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат;  — время задержки в выплате ренты;  — коэффициент приведения рейты к началу выплат.

Если срок ренты очень большой или конкретно не оговаривается, т. е. если , то такая рента называется вечной рентой. Формула для вычисления современной стоимости вечной ренты имеет вид.

Часто при исследовании рент известна наращенная сумма или современная стоимость, а один из параметров ренты неизвестен. Пусть неизвестной будет годовая выплата.

При определении величины годовой выплаты ренты используются полученные выше формулы для расчета наращенной суммы и современной стоимости различных типов рент. При этом должны быть заданы все параметры ренты кроме годовой выплаты. Для р-срочной ренты с начислением процентов т раз в году формулы для величины годовой выплаты определяются из соотношений (2.32) и (2.34):

(2.36).

где S и А — наращенная сумма и современная стоимость ренты соответственно; и - коэффициенты наращения и приведения ренты соответственно; р — количество выплат в году; т — количество начислений процентов в году; j — номинальная процентная ставка; п — срок ренты в годах.

В практической деятельности довольно часто возникают задачи определения срока ренты при прочих известных параметрах. Срок ренты определяется из формул для наращенной суммы и современной стоимости ренты, которые были получены нами ранее. Наиболее общим случаем постоянной ренты является рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году. Для этой ренты наращенная сумма определяется формулой.

Представим эту формулу в виде.

Прологарифмировав правую и левую части этого равенства, получим

Решив это уравнение относительно п, окончательно найдем.

(2.37).

При расчете по этой формуле срок получается, как правило, дробным, поэтому количество периодов пр округляется до целого числа . Затем уточняется значение разового платежа по формуле.

(2.38).

Пример 2.26. В фонд поступают средства, на которые начисляются проценты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда на конец срока составит 100 тыс. руб., годовая выплата — 10 тыс. руб. Определите срок ренты.

Решение

Срок ренты находится по формуле.

Количество кварталов в полученном сроке составит I. Округляем полученное число до 25, т. е. количество лет ренты принимается равным лет. Величину ежеквартальной выплаты получим, подставив это число в формулу (2.38):

Аналогично находят формулу для срока ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году по ее современной стоимости. Эта формула имеет вид.

(2.39).

Формула для уточнения значения разового платежа:

(2.40).

Для других типов ренты срок находится аналогично.

Важной проблемой при анализе потоков платежей является задача расчета процентной ставки ренты. Если известны все параметры ренты, кроме процентной ставки, то расчет процентной ставки можно трактовать как определение доходности финансовой операции. Процентная ставка определяется из соотношений для расчета наращенной суммы и современной стоимости по формулам, полученным выше, для различных типов рент. В отличие от определения годовой выплаты ренты или ее срока, выражение для расчета процентной ставки, как правило, нельзя представить в виде формулы. Поэтому процентную ставку ренты рассчитывают цифровыми способами. Рассмотрим уравнение для современной стоимости годовой ренты.

Представим его в виде.

Решить это нелинейное уравнение можно одним из цифровых методов на компьютере, например графическим методом в Excel. Для этого построим таблицу функции.

В ячейке А1 таблицы Excel набираем цифру, равную шагу таблицы функции. Чем мельче шаг, тем точнее решение. Пусть эта цифра будет равна 0,0001. В ячейке А2 набираем: = А1 + 0,0001. Утверждаем результат, нажав клавишу Enter или кликнув на зеленую галочку в строке формул. Ухватившись курсором за нижней правый угол ячейки А2, протягиваем результат вниз. В ячейке В1 набираем формулу: , причем вместо а набираем А1. Утверждаем. Ухватившись курсором за нижний правый угол ячейки В1, протягиваем результат вниз до тех пор, пока функция не сменит знак. Значение аргумента, лежащее между двумя соседними значениями с разным знаком, будет являться искомой доходностью.

Пример 2.27. В накопительный фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 тыс. руб. в течение 7 лет, причем на конец срока величина фонда составит 100 тыс. руб. Определите доходность инвестиций.

Решение

Исходным уравнением решения является формула для наращенной суммы годовой ренты . Представим это уравнение в виде L Подставив сюда исходные данные примера, получим.

Решив это нелинейное уравнение на компьютере, получим а = 11,71%.

Аналогичным образом проводится расчет процентной ставки и для других рент. Например, при известной современной стоимости р-срочной ренты ставка определяется из уравнения