Анализ качества спецификации модели

После изучения главы 6 студент должен:

знать

• • определение понятия качества спецификации модели (качество модели):
• • принцип, заложенный в основу тестирования;
• • определение понятия коэффициента детерминации;
• • метод тестирования модели на качество спецификации и его особенности;
• • как выявить статистически незначимые регрессоры в модели множественной линейной регрессии;
• • смысл понятия «мультиколлинеарность» и признаки ее наличия;
• • методы отбора регрессоров для устранения мультиколлинеарности;

уметь

• • вычислять значения коэффициента детерминации;
• • вычислять значение статистики Fтест;
• • использовать табличный процессор EXCEL для вычисления коэффициента детерминации и необходимых статистик;
• • тестировать эконометрические модели на качество спецификации;
• • отбирать регрессоры для включения в спецификацию модели не вызывая мультиколлинеарности;

владеть

• • математическим аппаратом проверки статистических гипотез;
• • навыком использования признаков наличия частичной мультиколлинеарности в моделях;
• • приемами отбора регрессоров в спецификацию модели;
• • навыками использования программного обеспечения персональных компьютеров, в частности, использования табличного процессора EXCEL.

Качество спецификации модели парной регрессии

Из предыдущих глав следует, что основным инструментом оценивания параметров линейной модели множественной регрессии являются процедуры, сформулированные в теореме Гаусса — Маркова. Также мы выяснили, что недостаточно только вычислить значения оценок входящих в модель параметров, необходимо еще подтвердить качество параметров и модели в целом. Другими словами, необходимо провести анализ полученных результатов.

Начнем анализ результата оценивания модели с ответа на вопрос: насколько качественно был выполнен первый этап построения модели, а именно, не допустили ли мы ошибку, записывая спецификацию модели? На этапе спецификации модели есть возможность допустить две ошибки:

• 1) неправильно выбрать вид поведенческой части модели (функции регрессии);
• 2) неправильно выбрать набор экзогенных переменных, введенных в спецификацию модели.

Действительно, при спецификации модели принято ограничение об использовании только линейных алгебраических уравнений. Но вполне может оказаться, что модель существенно нелинейная (см. производственную функцию Кобба — Дугласа). Кроме того, в результате анализа поведения экономического объекта в спецификацию введем набор экзогенных переменных, который по предположению влияет на формирование эндогенной переменной. Здесь тоже возможно появление ошибок: может оказаться, что все выбранные переменные не оказывают влияния на величину эндогенной переменной или часть из них.

Тестирование качества спецификации модели направлено па выявление факторов, не оказывающих влияния на формирование эндогенной переменной.

Начнем обсуждение проблемы с примера уравнения парной регрессии.

Имеем спецификацию модели в виде.

(6.1)

и предполагаем, что предпосылки теоремы Гаусса — Маркова выполнены.

Тогда модель (6.1) можно записать в виде.

(6.2).

где.

В уравнении (6.2) первое слагаемое — это вклад в значение , вызванный изменениями регрессора , а второе  — влияние случайных факторов, которые не связаны с изменениями регрессора.

Отсюда, вытекает идея тестирования. Необходимо установить, какое из слагаемых вносит наибольший вклад в общий разброс наблюдаемых значений эндогенной переменной. Характеристикой разброса случайной переменной служит дисперсия. Следовательно, необходимо определить, какое из слагаемых превалирует в функции дисперсии эндогенной переменной. Найдем дисперсию функции (6.2):

(6.3).

Найдем значение последнего слагаемого (6.3):

(6.4).

Первое слагаемое (6.4) равно нулю, так как ковариация между константой и случайной величиной равна нулю, второе слагаемое равно нулю в силу четвертой предпосылки теоремы Гаусса — Маркова.

В результате получаем:

(6.5).

Выражение (6.5) можно представить в виде.

(6.6).

Введем следующие обозначения:

• —  -общая сумма квадратов (Total Sum Squares),
• —  регрессионная сумма квадратов (Regression Sum, Squars),
• —  сумма квадратов ошибок (Error Sum Squares).

Тогда выражение (6.6) можно записать как.

(6.7).

Замечание. Равенства (6.6) и (6.7) имеют место, если в модели присутствует параметр

В качестве меры влияния регрессора на формирование значения эндогенной переменной у вводится коэффициент детерминации как отношение регрессионной суммы квадратов к общей сумме квадратов:

(6.8).

Область определения коэффициента детерминации — отрезок от нуля до единицы

Коэффициент детерминации показывает, какая доля изменения зависимой переменной обусловлена изменениями объясняющей переменной.

Если , т. е. RSS = TSS, означает, что регрессор д: полностью обеспечивает весь размах изменения переменной у. В этом случае говорят, что спецификация модели, абсолютно качественная. Случайное возмущение во всех наблюдениях равно нулю.

Наоборот, если , т. е. ESS = TSS т. е. означает, что весь размах изменения переменной у есть следствие воздействия неучтенных случайных факторов. В этом случае говорят, что спецификация модели абсолютно некачественная. Регрессор не оказывает влияния на формирование эндогенной переменной.

С учетом сделанного выше замечания необходимо иметь в виду, что коэффициент детерминации имеет смысл только при наличии свободного коэффициента в спецификации линейно аддитивной модели. Если параметр отсутствует в спецификации модели, из-за невыполнения тождества (6.7), значение , вычисленное по формуле (6.8), может оказаться и больше единицы и даже отрицательным.

Можно показать, что в случае парной линейной регрессии коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции между переменными у и х.

Коэффициент детерминации — величина случайная, так как его значение вычислено по случайной выборке. Следовательно, для тестирования гипотезы о том, что выбранный регрессор не оказывает влияние на формирование значения эндогенной переменной, согласно алгоритму проверки статистических гипотез, необходимо создать случайную переменную, связанную с гипотезой, закон распределения которой был бы известен.

Можно показать, что если случайное возмущение распределено нормально , то случайная величина подчиняется нормальному закону распределения. Тогда для проверки гипотезы в качестве статистики принимается переменная , которая вычисляется по правилу:

(6.9).

Здесь: п — объем выборки; k — количество регрессоров в модели (в нашем случае ); - коэффициент детерминации.

Переменная подчиняется закону распределения Фишера с параметрами и (). Приняв значение доверительной вероятности, например, , вычисляется критическое значение для переменной

Если имеет место неравенство.

(6.10).

то гипотеза о том, что регрессор х не влияет на формирование значения эндогенной переменной у, принимается. Если условие (6.10) не выполняется, то принимается альтернативная гипотеза о том, что регрессор х существенно влияет на формирование величины у.

Замечание. Значения коэффициента детерминации и статистики вычисляются функцией «ЛИНЕЙН» (см. табл. 5.1).

Пример. Рассмотрим модель зависимости сбережений граждан от размера располагаемого дохода в Великобритании.

Исходные данные для построения модели (выборка наблюдений), а также результат работы функции «ЛИНЕЙН» приведены в табл. 6.1.

Таблица 6.1

Выборка наблюдений и результат работы функции «ЛИНЕИН»

Оцененная модель имеет вид:

Значение коэффициента детерминации равно:

Значение

Значение

Значение много больше , следовательно, оцененная модель имеет качественную спецификацию или, другими словами, выбранный регрессор влияет на формирование значения эндогенной переменной. В этом случае еще говорят, что модель является статистически значимой.