Аналитические и статистические методы

Эти группы методов получили наибольшее распространение в практике проектирования и управления. Правда, для представления промежуточных и окончательных результатов моделирования широко используются графические представления (графики, диаграммы и т. п.). Однако последние являются вспомогательными; основу же модели, доказательства ее адекватности составляют те или иные направления аналитических и статистических представлений. Поэтому, несмотря на то, что по основным направлениям этих двух классов методов в вузах читают самостоятельные курсы лекций, мы все же кратко охарактеризуем их особенности, достоинства и недостатки с точки зрения возможности использования аналитических и статистических методов при моделировании систем.

Аналитические методы. Аналитическими методами в рассматриваемой классификации названы методы, которые отображают реальные объекты и процессы в виде точек (безразмерных в строгих математических доказательствах), совершающих какие-либо перемещения в пространстве или взаимодействующих между собой.

В табл. 2.1 эта особенность аналитических представлений условно иллюстрируется символическим образом, т. е. преобразованием сложной системы посредством оператора Ф[Sx] в точку, обладающую каким-то поведением, описываемым строгими соотношениями, нередко имеющими силу закона.

Основу понятийного (терминологического) аппарата этих представлений составляют понятия классической математики (величина, формула, функция, уравнение, система уравнений, логарифм, дифференциал, интеграл и т. д.).

Аналитические представления имеют многовековую историю развития, и для них характерно не только стремление к строгости терминологии, но и к закреплению за некоторыми специальными величинами определенных букв (например, удвоенное отношение площади круга к площади вписанного в него квадрата? ? 3,14; основание натурального логарифма е ? 2,7 и т. д.).

На базе аналитических представлений возникли и развиваются математические теории различной сложности — от аппарата классического математического анализа до новых разделов современной математики, (математическое программирование, теория игр и т. п.). Эти теоретические направления стали основой многих прикладных дисциплин, в том числе теории автоматического управления, теории оптимальных решений и т. д.

При моделировании систем применяется широкий спектр символических представлений, использующих «язык» классической математики. Однако далеко не всегда эти символические представления адекватно отражают реальные сложные процессы, и их в этих случаях, вообще говоря, нельзя считать строгими математическими моделями.

Большинство из направлений математики не содержит средств постановки задачи и доказательства адекватности модели. Адекватность модели доказывается экспериментом, который по мере усложнения проблем становится также все более сложным, дорогостоящим, не всегда бесспорен и реализуем.

В то же время в состав этого класса методов входит относительно новое направление математики -математическое программирование, которое содержит средства постановки задачи и расширяет возможности доказательства адекватности моделей.

Идея этого направления была предложена в 1939 г. инженером, а впоследствии за работы в этой области лауреатом Государственной и Нобелевской премий Л. В. Канторовичем [39] для решения экономических задач. Эта идея не сразу была воспринята экономистами, но после признания ее за рубежом (независимо ее предложили и развивали Г. Купманс и Дж. Данциг, которые признали приоритет Л. В. Канторовича) получила широкое применение в экономике, развивалась рядом отечественных ученых, в том числе В. В. Новожиловым, С. А. Соколицыным, Б. И. Кузиным, В. Н. Юрьевым [47]. В настоящее время экономику невозможно представить без экономико-математических методов, основанных на математическом программировании.

Привлекательность методов математического программирования для решения слабо формализованных задач (каковыми, как правило, являются задачи планирования, распределения работ и ресурсов, загрузки оборудования и другие задачи управления современным предприятием на начальном этапе их постановки) объясняется рядом особенностей, отличающих эти методы от методов классической математики.

Для пояснения этих особенностей рассмотрим упрощенный пример.

Пример

Предположим, что в трех цехах (Ц1, Ц2, Ц3) изготавливается два вида изделий И1 и И2. Известна загрузка каждого цеха аi (оцениваемая в данном случае в процентах) при изготовлении каждого из изделий и прибыль (или цена, объем реализуемой продукции в рублях) cj от реализации изделий. Требуется определить, сколько изделий каждого вида следует производить при возможно более полной загрузке цехов, чтобы получить за рассматриваемый плановый период максимальную прибыль или максимальный объем реализуемой продукции.

Такую ситуацию удобно отобразить в виде таблицы (табл. 2.3), которая подсказывает характерную для задач математического программирования форму представления задачи, т. е. целевую функцию (в данном случае определяющую максимизацию прибыли или объема реализуемой продукции).

(2.1).

и ряд ограничений (в данном случае диктуемых возможностями цехов, т. е. их предельной 100%-ной загрузкой).

(2.2).

В данном случае ограничения однородны и их можно записать короче:

(2.2а).

Таблица 2.3

В общем случае может быть несколько групп подобных ограничений (например, по имеющимся материалам разного вида, себестоимости, заработной плате рабочих и т. п.).

Рис. 2.4.

Графическое решение задачи приведено на рис. 2.4.

Ограничения определяют область допустимых решений, а наклон прямой, отображающий целевую функцию, — точку последнего ее пересечения с областью допустимых решений, которая и является наилучшим решением задачи (оптимумом). В данном случае х1 =9, х2 = 13.

В случае большего числа разнородных ограничений графическая интерпретация задачи затруднена, поэтому используются специальные методы (например, симплекс-метод), пакеты прикладных программ, их реализующие. В зависимости от вида целевой функции и принципов организации решения выделяют направления математического программирования: линейное (при линейном характере целевой функции), нелинейное (целевая функция нелинейна); целочисленное (ограничение на характер переменных), динамическое и т. п. Эти направления имеют специфические особенности и методы решения. Но основная суть постановки задачи сохраняется.

Анализ хода постановки и решения задачи позволяет выявить следующие основные особенности математического программирования:

¦ введение понятий целевая функция, ограничения, ориентация на их формирование являются фактически некоторыми средствами постановки задачи; причем эти средства можно использовать, даже если не удается сформировать систему непротиворечивых ограничений или записать целевую функцию в формальном виде; поскольку в процессе проведения исследования можно уточнить представление о проблемной ситуации и, таким образом, поставить задачу хотя бы в первом приближении;

¦ при использовании методов математического программирования появляется возможность объединения в единой модели разнородных критериев (разных размерностей, предельных значений), что очень важно для отображения реальных проектных и производственных ситуаций;

¦ модель математического программирования допускает (и даже ориентирует на это) выход на границу области определения переменных (в то время, как методы классической математики требуют введения строгих начальных и граничных условий, значений которых переменная не может принимать в процессе анализа модели);

¦ изучение методов решения задач математического программирования позволяет получить представление о пошаговом приближении к решению, т. е. о пошаговом алгоритме получения результата моделирования;

¦ графическая интерпретация задачи дает наглядное представление об области допустимых решений (которая на рис. 2.4 заштрихована), что помогает в практических ситуациях даже в тех случаях, когда не удается получить формальное отображение целевой функции и строго решить задачу математического программирования.

Благодаря рассмотренным особенностям, методы математического программирования можно кратко охарактеризовать как методы, имеющие в отличие от классической математики некоторые средства постановки задачи. В частности, термин целевая функция часто используется даже в тех случаях, когда очевидна невозможность формального установления детерминированных взаимосвязей между компонентами и целями системы. Помогает в постановке задачи и понятие области допустимых решений. Этим объясняется популярность рассматриваемого направления; однако получаемые в таких случаях модели уже не относятся к моделям математического программирования и аналитическим методам.

Резюмируя, еще раз обратим внимание на то, что аналитические методы применяют в тех случаях, когда свойства системы можно отобразить с помощью детерминированных величин или зависимостей, т. е. когда знания о процессах и событиях в некотором интервале времени позволяют полностью определить их поведение вне этого интервала. Эти методы используются при решении задач движения и устойчивости, оптимального размещения, распределения работ и ресурсов, выбора наилучшего пути, оптимальной стратегии поведения, в том числе в конфликтных ситуациях и т. п.

В то же время при практическом применении аналитических представлений для отображения сложных систем следует иметь в виду, что они требуют установления всех детерминированных связей между учитываемыми компонентами и целями системы в виде аналитических зависимостей. Для сложных многокомпонентных, многокритериальных систем получить требуемые аналитические зависимости крайне трудно. Более того, даже если это и удается, то практически невозможно доказать правомерность применения таких выражений, т. е. адекватность модели рассматриваемой задаче. В таких ситуациях следует обратиться к другим методам моделирования.

Статистические методы. Статистические представления сформировались как самостоятельное научное направление в середине прошлого века (хотя возникли значительно раньше). Основу их составляет отображение явлений и процессов с помощью случайных (стохастических) событий и их поведений, которые описываются соответствующими вероятностными (статистическими) характеристиками и статистическими закономерностями.

Термин «стохастические» уточняет понятие «случайный», которое в обыденном смысле принято связывать с отсутствием причин появления событий, с появлением не только повторяющихся и подчиняющихся какимто закономерностям, но и единичных событий. Процессы же, отображаемые статистическими закономерностями, должны быть жестко связаны с заранее заданными, определенными причинами, а «случайность» означает, что они могут появиться или не появиться при наличии заданного комплекса причин.

Статистические отображения системы в общем случае (по аналогии с аналитическими) в табл. 2.1 представлены символическим образом, как бы в виде «размытой» точки (размытой области) в n-мерном пространстве, в которую переводит учитываемые в модели свойства системы оператор . Границы области заданы с некоторой вероятностью р («размыты») и движение точки описывается некоторой случайной функцией.

Напомним, что под вероятностью события понимается (где т — число появлений события А; п — общее число опытов), если при .

Закрепляя все параметры этой области, кроме одного, получим «срез» по линии а-b, смысл которого — воздействие данного параметра на поведение системы, которое можно описать статистическим распределением по этому параметру, одномерной статистической закономерностью. Аналогично можно получить двумерную, трехмерную и т. д. картины статистического распределения.

Статистические закономерности можно представить в виде дискретных случайных величин и их вероятностей или в виде непрерывных зависимостей распределения событий, процессов.

Для дискретных событий соотношение между возможными значениями случайной величины и их вероятностями р; называют законом распределения и либо записывают в виде ряда (табл. 2.4), либо представляют в виде зависимостей (рис. 2.5, а) или р (х) (рис. 2.5, в).

Таблица 2.4.

При этом.

(2.3).

Для непрерывных случайных величин (процессов) закон распределения представляют (соответственно дискретным законам) либо в виде функции распределения (интегральный закон распределения — рис. 2.5, б), либо в виде плотности вероятностей (дифференциальный закон распределения — рис. 2.5, г). В этом случае.

где - вероятность попадания случайных событий в интервал от до .

Рис. 2.5.

Закон распределения является удобной формой статистического отображения системы.

Однако получение закона (даже одномерного) или определение изменений этого закона при прохождении через какие-либо устройства или среды представляет собой трудную, часто невыполнимую задачу. Поэтому в ряде случаев пользуются не распределением, а его характеристиками — начальными и центральными моментами.

Наибольшее применение получили:

¦ 1-й начальный момент — математическое ожидание или среднее значение случайной величины:

— для дискретных величин;

(2.4).

 — для непрерывных величин;

¦ 2-й центральный момент — дисперсия случайной величины:

— для дискретных величин;

(2.5).

 — для непрерывных величин.

Для полной группы несовместных событий имеют место условия нормирования:

для функции распределения

(2.6а).

для плотности вероятности

(2.6б) В монографиях и учебниках применяют тот или иной вид зависимостей, приведенных на рис. 2.5, более подходящий для соответствующих приложений.

На практике иногда используется не дисперсия , а среднее квадратическое отклонение .

Связь между случайными величинами в общем случае характеризуется ковариацией — моментом связи; для двумерного распределения ковариация обозначается , или , или

Использование ковариации в качестве меры связи случайных переменных не всегда удобно, так как величина ковариации зависит от единиц измерения, в которых измерены случайные величины. При переходе к другим единицам измерения ковариация тоже изменяется, хотя степень связи случайных переменных, естественно, остается прежней. Поэтому в качестве меры связи признаков нередко используют ковариацию нормированных отклонений — коэффициент корреляции.

(2.7).

где - нормированные отклонения;  — среднеквадратические отклонения.

Коэффициент корреляции может представляться и другими способами.

Практическое применение получили в основном одномерные распределения, что связано со сложностью получения статистических закономерностей и доказательства адекватности их применения для конкретных приложений, которое базируется на понятии выборки.

Под выборкой понимается часть изучаемой совокупности явлений, на основе исследования которой получают статистические закономерности, присущие всей совокупности и распространяемые на нее с какой-то вероятностью.

Для того чтобы полученные при исследовании выборки закономерности можно было распространить на всю совокупность, выборка должна быть представительной (репрезентативной), т. е. обладать определенными качественными и количественными характеристиками. Качественные характеристики связаны с содержательным аспектом выборки, т. е. с определением, являются ли элементы, входящие в нее, элементами исследуемой совокупности, правильно ли отобраны эти элементы с точки зрения цели исследования (с этой точки зрения выборка может быть случайной, направленной или смешанной). Количественные характеристики представительности выборки связаны с определением объема выборки, достаточным для того, чтобы на основе ее исследования можно было делать выводы о совокупности в целом; уменьшение объема выборки можно получить на основе эргодического свойства, т. е. путем увеличения длительности статистических испытаний (в большинстве практических случаев вопрос о количественных характеристиках выборки является предметом специального исследования).

На базе статистических представлений развивается ряд математических теорий, которые можно разделить на четыре основные группы:

¦ математическая статистика, объединяющая различные методы статистического анализа (регрессионный, дисперсионный, корреляционный, факторный и т. п.);

¦ теория статистических испытаний;

основой этой теории является метод Монте-Карло; развитием — теория статистического имитационного моделирования;

¦ теория выдвижения и проверки статистических гипотез;

возникла для оценки процессов передачи сигналов на расстоянии; базируется на общей теории статистических решающих функций А. Вальда; важным частным случаем теории является байесовский подход к исследо ванию процессов передачи информации, процессов общения, обучения и др. ситуаций в организационных системах;

¦ теория потенциальной помехоустойчивости;

обобщает последние два направления теории статистических решений, в рамках которой, в свою очередь, возник ряд интересных и полезных для практики направлений; начала теории положены работами!}. А. Котельникова, проводимыми независимо от теории решающих функций.

Перечисленные направления в большинстве своем носят теоретико-прикладной характер и возникали из потребностей практики. На их основе развивается ряд прикладных научных направлений: экономическая статистика, теория массового обслуживания, статистическая радиотехника, статистическая теория распознавания образов, стохастическое программирование, новые разделы теории игр и т. п.

Для прикладной информатики представляет особый интерес развивающаяся на базе статистических представлений информетрия [29], закономерности которой особенно важны для прикладной информатики.

Расширение возможностей отображения сложных систем и процессов по сравнению с аналитическими методами можно объяснить тем, что применение статистических представлений процесс постановки задачи как бы частично заменяется статистическими исследованиями, позволяющими, не выявляя все детерминированные связи между изучаемыми объектами (событиями) или учитываемыми компонентами сложной системы, на основе выборочного исследования (исследования репрезентативной выборки) получать статистические закономерности и распространять их на поведение системы в целом.

В то же время не всегда может быть определена репрезентативная выборка, доказана правомерность применения полученных на ее основе статистических закономерностей. Если не удается доказать репрезентативность выборки или для этого требуется недопустимо большое время, то применение статистических методов может привести к неверным результатам. В таких случаях целесообразно обратиться к методам, объединяемым под общим названием — методы дискретной математики, которые помогают разрабатывать языки моделирования, модели и методики постепенной формализации процесса принятия решения.