Дифракция света

Дифракция света

Дифракцией называется огибание волнами препятствий, встречающихся на их пути. В более широком смысле дифракция — это явление отклонения законов распространения волн от законов геометрической оптики. Явление дифракции объясняется с помощью принципа Гюйгенса: Каждая точка, до которой доходит волна, служит центром вторичных волн, а огибающая вторичных волн дает положение волнового фронта.

Принцип Гюйгенса не позволяет объяснить интенсивность отклоняющихся лучей. Френель дополнил принцип Гюйгенса некоторыми идеями, позволяющими определять амплитуды распространяющихся лучей.

Принцип Гюйгенса — Френеля: Световая волна, возбуждаемая каким-либо источником, может быть представлена как результат суперпозиции когерентных вторичных волн, излучаемых фиктивными источниками.

В отличие от принципа Гюйгенса, когда мы следили за фронтом распространяющейся волны, с помощью принципа Гюйгенса-Френеля мы в выбранной точке рассматриваем сложение волн от различных источников.

Различают дифракцию Фраунгофера и дифракцию Френеля. Дифракцией Фраунгофера называют дифракцию в параллельных лучах. Остальные виды дифракции — это дифракции Френеля.

1. Метод зон Френеля

Рассмотрим распространение света от точечного источника в рамках теории Гюйгенса-Френеля. Попутно выясним, почему свет распространяется прямолинейно.

Заменим действие источника S действием фиктивных источников, расположенных на вспомогательной поверхности Ф. Разобьем поверхность Ф на зоны такого размера, чтобы расстояния от краев зоны до М отличались на л/2.

.

Для такого разбиения проведем из точки М сферы радиусами

.

Это приведет к разбиению фронта волны на зоны, которые называются зонами Френеля. Соседние зоны гасят друг друга. Результирующая амплитуда в точке М

,

где и т. д. — амплитуды колебаний, возбужденных порознь 1-й, 2-й и т. д. зонами, — амплитуда результирующих колебаний. Величина амплитуды зависит от площади m-й зоны и угла между внешней нормалью к поверхности зоны в какой-либо ее точке и прямой, направленной из этой точки в точке М.

Оценим амплитуды различных колебаний. Для этого рассмотрим сферический сегмент высоты h_m. Другие обозначения показаны на рисунке.

Из рисунка следует

или, учитывая условия л << a и л << b, получим выражение для высоты сферического сегмента

.

Для радиуса внешней границы m — ой зоны Френеля получим

.

Общее число зон Френеля очень велико (~ 10^{5), поэтому можно использовать приближение}

.

Тогда для результирующей амплитуды колебаний в точке М получим

.

Итак, амплитуда, создаваемая сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной центральной зоной. Если учесть, что интенсивность излучения пропорциональна квадрату амплитуды, то вклад одной центральной зоны в четыре раза превосходит вклад всей волновой поверхности. В частности, если на пути распространения света поставить непрозрачный экран с маленьким отверстием, равным первой зоне Френеля, то яркость света в точке М увеличится в 4 раза (довольно неожиданный результат).

Для усиления освещенности в точке М создают специальные зонные пластинки с затененными нечетными зонами Френеля. При этом интенсивность света в точке М возрастает во много раз. Такие зонные пластинки выступают как собирающие линзы.

Радиус центральной зоны Френеля сравнительно мал (при см, см, мм). Распространение света от S к М происходит так, будто световой поток распространяется внутри очень узкого канала вдоль SM, т. е. прямолинейно.

2. Дифракция на отверстии, диске и щели

Существуют различные формы проявления и наблюдения дифракции: на границах различных сред, на отверстиях и щелях, на различных препятствиях. В частности, рассеяние света в неоднородных средах (туман, запыленность и пр.), молекулярное рассеяние (голубой цвет неба) объясняются дифракцией света. Рассмотрим простейшие способы наблюдения дифракции.

Дифракция на круглом отверстии. Разместим на пути сферической волны экран с круглым отверстием. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием радиуса. Дифракционную картину наблюдаем на экране в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия. Здесь b — расстояние от вершины волновой поверхности до точки В, а — радиус волновой поверхности.

Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, укладывающихся в отверстии. Для амплитуды в точке В имеем

где знак + соответствует нечетным зонам, а минус — четным. В окрестности точки В имеем чередующиеся кольца. В зависимости от т в точке В может быть светлое или темное пятно. При перемещении экрана вдоль направления b в центре будут происходить чередование светлых и темных пятен. Если радиус отверстия равен радиусу первой зоны Френеля (), то яркость света в точке М увеличится в 4 раза.

Дифракция на диске. Разместим на пути от источника света S к точке наблюдения В непрозрачный диск и рассмотрим дифракционную картину в окрестности точки В.

В данном случае закрытый диском участок фронта волны надо исключить из суммы амплитуд. Пусть диск закрывает первые т зон Френеля. Тогда

.

Следовательно, в точке В всегда наблюдается интерференционный максимум, соответствующий половине действия первой открытой зоны Френеля.

Дифракция Фраунгофера на щели. Рассмотрим дифракцию на щели. Этот эффект детально исследовался Фраунгофером, поэтому называется дифракцией Фраунгофера. Рассмотрим параллельный пучок света, созданный бесконечно удаленным источником или с помощью системы линз. Выходящие лучи с помощью линзы можно собрать в одной точке, лежащей в фокальной плоскости. При этом на экране образуется система светлых и темных полос различной яркости. Можно показать, что интенсивность светлой полосы определяется углом отклонения и имеет максимальное значение при. Вычисления показывают, что интенсивность центрального максимума почти в 20 раз превосходит интенсивность первого.

Оптическая разность хода в направлении ц

где a = MN.

Разобьем открытую часть волновой поверхности на зоны Френеля, т. е. на такие отрезки, что разность хода на концах отрезка равна л/2. На ширине щели уместится п = Д/(л/2) зон. От каждой пары соседних зон Френеля результирующая амплитуда равна нулю. Следовательно, если число зон четное, то имеем дифракционный минимум, нечетное — максимум.

Условие минимума

Условие максимума

В прямом направлении (ц = 0) имеется центральный дифракционный максимум. Интенсивности максимумов уменьшаются при удалении от центрального максимума. Это изменение связано с изменением угла (на севере средняя температура ниже, чем на экваторе). Для немонохроматического света наблюдаются максимумы различных цветов, которые перекрываются и искажают картину дифракции.

Из условия следует, т. е. число минимумов ограничено:

.

Если ширина щели меньше длины волны, то минимумы (темные полосы) отсутствуют, интенсивность центрального максимума монотонно уменьшается при удалении от центра.

3. Дифракционная решетка

Явление дифракции на щели используется для создания дифракционных решеток. Дифракционная решетка представляет собой систему параллельных дифракционных щелей равной ширины, лежащих в одной плоскости и разделенных равными по ширине непрозрачными промежутками. В этом случае наблюдается многолучевая интерференция когерентных дифрагированных лучей.

Разности хода лучей, идущих от двух щелей:

.

Очевидно, прежние минимумы интенсивности сохранятся

Вследствие взаимной интерференции соседних щелей образуются дополнительные минимумы, когда волны из соседних щелей гасят друг друга. Условие появления дополнительных минимумов

где - постоянная решетки (период решетки).

Если выполнено условие

то максимумы будут усиливаться. Это выражение определяет условие главных максимумов. Можно показать, что, если решетка состоит из N щелей, то справедливы следующие условия:

главные минимумы

дополнительные минимумы

главные максимумы

дополнительные максимумы

Величина называется порядком спектра. Дополнительные минимумы и максимумы изменяют форму дифракционных спектров так, как показано на рисунке.

Здесь пунктирная линия изображает интенсивность от одной щели, умноженную на. Отметим, что главный максимум располагается против центра линзы. Количество главных максимумов определяется из условия

.

Дифракционные решетки, используемое в различных областях спектра, различается размерами, формой, материалом поверхности, профилем штрихов и их частотой (от 6000 до 0,25 штрих/мм, что позволяет перекрывать область спектра от ультрафиолетовой его части до инфракрасной). Например, ступенчатый профиль решетки позволяет концентрировать основную часть падающей энергии в направлении одного определенного ненулевого порядка.

4. Дифракция в кристаллах

Кристаллы представляют собой трехмерные периодические структуры, когда определенная конфигурация атомов повторяется в трех различных направлениях. Расстояние между атомами в кристаллах имеет величину см. Это гораздо меньше длин волн оптического диапазона см, следовательно, наблюдать дифракцию в видимом свете невозможно. Немецкий ученый Лауэ предложил использовать для наблюдения дифракции в кристаллах рентгеновское излучение с длинами волн см.

Простой метод расчета дифракции рентгеновского излучения на кристаллической решетке предложили английские физики Брэгги (отец и сын) и советский физик Вульф. Представим кристаллы в виде совокупности параллельных кристаллографических плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии d. Пучок параллельных монохроматических рентгеновских лучей падает под углом скольжения (угол между направлением падающих лучей и кристаллографической плоскостью) и возбуждает атомы кристаллической решетки, которые становятся источниками когерентных вторичных волн 1' и 2', интерферирующих между собой, подобно вторичным волнам от щелей дифракционной решетки.

Максимумы интенсивности наблюдаются в тех направлениях, в которых все отраженные атомными плоскостями волны будут находиться в одинаковой фазе. Эти направления удовлетворяют формуле Брэггов — Вульфа (формула Брэгга)

т.е. при разности хода между двумя лучами, отраженными от соседних кристаллографических плоскостей, кратной целому числу длин волн, наблюдается дифракционный максимум.

С помощью формулы Брэггов-Вульфа решают две важные физические задачи:

1) определяют межплоскостное расстояние и исследуют структуру кристалла. Эта формула лежит в основе рентгеноструктурного анализа.

2) зная, определяют длину волны. Этими задачами занимаются в рентгеновской спектроскопии.

В квантовой механике показано, что волновыми свойствами обладают элементарные частицы (электроны, протоны, нейтроны и пр.). Для них также можно записать формулу, аналогичную формуле Брэггов-Вульфа, и проводить соответствующие структурные исследования. Подавляющее большинство результатов о внутренней структуре материальных тел получено с использованием дифракционных методов.

5. Точность спектральных приборов

Все приборы характеризуются определенной точностью. Даже для идеальных оптических систем предельные значения получаемых изображений. Это связано с волновой природой света. Изображение любой светящейся точки представляет собой дифракционную картину в виде светлого пятна, окруженного темными и светлыми кольцами. В оптических приборах для характеристики точности используется принцип Рэлея:

Изображения двух близлежащих спектральных линий разрешимы, если центральный максимум одной линии совпадает с первым минимумом дифракционной картины от другой линии (разрешимы — можно различить). На рисунке показаны дифракционные картины для разрешимых и неразрешимых линий.

Если критерий Релея нарушен, то наблюдается одна линия (более широкая).

Разрешающей способностью спектрального прибора называют величину

где — абсолютное значение минимальной разности длин волн двух соседних спектральных линий, при которых эти линии регистрируются раздельно.

Можно показать, что разрешающая способность дифракционной решетки определяется формулой

где т — порядок спектра (номер полосы), N - число щелей дифракционной решетки. Для современных дифракционных решеток разрешающая способность R~ 2•10^5.

При определении угловых характеристик измеряемых объектов (телескопы, бинокли и пр.) в качестве характеристики точности используется угловая дисперсия. Угловой дисперсией называется величина

где — угловое расстояние между двумя спектральными линиями, отличающимися по длине волны на .

Учитывая формулу

получим

.

Эта величина характеризует зависимость величины отклонения дифракционного максимума от длины волны.

Существуют формулы для разрешающей способности и дисперсии различных оптических приборов, учитывающие их технические характеристики (длина волны, диаметр объектива, фокусное расстояние и пр.).

6. Основные формулы дифракции света

1. Радиус т — ой зоны Френеля

2. Дифракция на одной щели:

максимум

минимум

3. Дифракционная решетка:

главные максимумы

главные минимумы

4. Формула Брэггов — Вульфа

5. Разрешающая способность спектрального прибора .

6. Разрешающая способность дифракционной решетки .

7. Угловая дисперсия дифракционной решетки дифракция когерентный свет волна

.

Список литературы

1. Трофимова Т. И. Курс физики, М.: Высшая школа, 1998, 478 с.

2. Трофимова Т. И. Сборник задач по курсу физики, М.: Высшая школа, 1996, 304 с.

3. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики, СПб.: «Специальная литература», 1999, 328 с.

4. Трофимова Т. И., Павлова З. Г. Сборник задач по курсу физики с решениями, М.: Высшая школа, 1999, 592 с.

5. Все решения к «Сборнику задач по общему курсу физики» В. С. Волькенштейн, М.: Аст, 1999, книга 1, 430 с., книга 2, 588 с.

6. Красильников О. М. Физика. Методическое руководство по обработке результатов наблюдений. М.: МИСиС, 2002, 29 с.

7. Супрун И. Т., Абрамова С. С. Физика. Методические указания по выполнению лабораторных работ, Электросталь: ЭПИ МИСиС, 2004, 54 с.