Необходимые сведения о втором приближении.69−71.
Подход к задаче стабилизации прямолинейных колебаний.71−74.
Исследование обратной связи во втором приближении.74−77.
Глава 4.
О нелинейных колебаниях тяжелой материальной точки на пружине.
Введение
78.
Постановка задачи и обозначения.79−80.
Уравнения движения.80.
Первое приближение нормальной формы при резонансе.80−83.
Интегралы нормальной формы.83−89.
Периодическое решение.89−92.
Эффекты срыва и разворота плоскости колебаний.93−99.
Глава 5.
Задача о колебаниях газового пузыря в жидкости при резонансе частот деформационных и радиальных колебаний 1:2.
Постановка задачи.100−102.
Функция Лагранжа и условие резонанса.102−104.
Введение
безразмерных параметров и упрощение лагранжиана.105.
Построение гамильтониана.105−107.
Исследование системы методом инвариантной нормализации.107−109.
Анализ уравнений нормальной формы: периодическое решение, малое возмущение периодического решения, эффект перекачки между модами колебаний.109−114.
Оценка корректности модели идеальной жидкости.114−118.
Выводы.118−121.
Литература
122−126.
Решение различных задач достаточно часто приводит к исследованию дифференциальных уравнений [5,39,42,43], имеющих вид = + (1) где /, Е е С^ (?>) — Г) с|" - ?"1- малый параметр, формализующий тот факт, что соответствующее слагаемое в правой части представляет собой возмущение. Система, получающаяся при 8 = О называется порождающей или вырожденной. Предполагается, что ее точное решение г = g{t, x), где л- -набор постоянных интегрирования, известно. Появление сколь угодно малого возмущения (в Ф 0) может качественно изменить поведение системы, что и делает задачу исследования возмущенных систем содержательной.
Возмущенная система, как правило, оказывается не интегрируемой. Однако наличие малого параметра позволяет применять методы приближенного анализа. Основным инструментом такого анализа является метод осреднения [9,26,27,36,37]. Не вдаваясь в детали, которые можно уточнить в цитированной литературе и в тексте данной работы, можно сказать, что суть метода состоит в следующем.
Вначале система приводится к стандартному виду хеХ (^, х,?) (2) при помощи известной процедуры вариации постоянных. Далее проводится осреднение правой части последней системы по явно входящему времени Л В зависимости от того, является ли правая часть периодической по / или нет, осреднение проводится на периоде, либо бесконечном полуинтервале. В результате получается автономная система г т х = sXQ (x, s), X0(x, s) = <
J Т о jx (t, х, ?•) dt, если X (t, x, s) — периодична с периодом Т lim — ^X{t, х, s) dt, если X{t, x, s) — не периодична о.
По отношению к полученным уравнениям, образующим систему первого приближения метода осреднения, ставится та же задача Коши, что и для точной системы (2). Решение этой задачи Коши позволяет получить функцию x (t), являющуюся приближенным решением (2). Ее подстановка в решение порождающей системы g (t, x) вместо постоянных интегрирования дает приближенное решение исходной системы (1). Близость приближенного решения к точному определяется свойствами правой части системы (2) и конструктивно оценивается при помощи теоремы H.H. Боголюбова [9,26].
Большинство известных методов теории возмущений также основаны на идее осреднения, либо специально приспособлены для решения систем определенного вида [26]. Однако в любом случае, как и при использовании метода осреднения, применяется определенный алгоритм, заменяющий исходную систему на более простую приближенную систему, по отношению к которой ставятся те же задачи.
Способ исследования задач, рассматриваемых в частях 1−3 данной диссертации, значительно отличается от только что описанной схемы анализа с помощью традиционных асимптотических методов. Отличаются от традиционных и сами постановки задач. Ниже приводится краткая история возникновения этих задач и описание подхода к их решению.
Еще в 1890 году Брайан [51], исследуя динамику стоячих волн в упругом и нерастяжимом кольце, вращающемся с постоянной угловой скоростью, пришел к открытию следующего эффекта.
Пусть в кольце возбуждена стоячая волна, а само оно вращается с угловой скоростью со = const, ортогональной плоскости кольца. Тогда в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью со и связанной с кольцом, стоячая волна будет поворачиваться на угол, равный где к — номер моды стоячей волны,? — время. Примечательно, что угол поворота волны вообще не зависит от свойств материала кольца, что, однако, является следствием допущения о нерастяжимости средней линии кольца.
Оказалось, что эффект сохраняется и в случае переменной угловой скорости. В системе отсчета, связанной с кольцом и имеющей переменную угловую скорость со (/) будет наблюдаться поворот стоячей волны на угол, определяемый по формуле.
Это соотношение, по-видимому, впервые было установлено экспериментально авторами патента «Vibratory rotation gyro». Теоретически случай переменной угловой скорости был изучен В. Ф. Журавлевым [27]. Было показано, что формула (3) следует из уравнения колебаний упругого кольца в своей плоскости и является точной, что позволяет сколько угодно раз ее дифференцировать. Двукратное дифференцирование, очевидно, приводит к результату.
Отсюда следует, что момент внешних сил, вызывающий угловое ускорение кольца со приводит к появлению углового ускорения прецессирующей волны ф. Можно показать, что прецессирующая волна несет собственный кинетический момент. Эти факты позволяют говорить о новом физическом явлении, называемом инертностью упругих волн. Название эффекта следует из аналогии поведения упругих волн и тел, обладающих массой.
3) 2.
Эффект инертности упругих волн не теряется и при учете свойств реальных материалов. Конструкции упругих резонаторов, в которых наблюдается эффект, могут быть различными. Наряду с рассмотренным кольцевым резонатором, можно использовать цилиндрические и полусферические оболочки, либо специальные стержневые конструкции, струны и вообще произвольные тела, обладающие осевой симметрией. С их устройствами можно ознакомиться по материалам [16,21,25,27,52,54,55,59,60,62−64]. Наибольшее распространение для практических нужд, описываемых далее, получили полусферические резонаторы.
Наличие свойства инертности волн приводит к идее использования упругих резонаторов в качестве датчиков угловых скоростей для бесплатформенных инерциальных систем навигации [2,10,14,29,30]. Эти датчики носят название волновых твердотельных гироскопов, либо вибрационных гироскопов. Подробнее о них также можно прочитать в работах [16,21,25,27,52,54,55,59,60,62−64].
Впервые практические разработки таких гироскопов начались в США в начале 60-х годов. Начиная с этого времени в США, Великобритании (фирма Marconi) и СССР получено большое количество патентов, содержащих предложения о совершенствовании конструкции датчиков. Однако отсутствие достаточной теоретической базы некоторое время не позволяло создать гироскоп, реализующий потенциальные возможности в полном объеме. После появления публикации [62], где были впервые четко сформулированы основные идеи по реализации волновых гироскопов, ситуация кардинально меняется. Фирма Delco становится лидером в этой отрасли приборостроения. Позже к аналогичным разработкам приступают и другие компании, в том числе и в нашей стране. Среди отечественных организаций наиболее успешные разработки велись в РПКБ, МИЭА и НИИЭМ. Теоретическое обеспечение этих разработок выполнял ИПМех РАН.
В результате были созданы различные конструкции гироскопов, имеющих различные классы точности. На базе этих чувствительных элементов реализованы работающие системы навигации, удовлетворяющие всем техническим требованиям. В качестве примеров можно привести семейство систем типа Carousel фирмы Delco, имеющих достаточно высокий класс точности. Система навигации фирмы Delco, основанная на волновом твердотельном гироскопе, успешно справилась со своими задачами во время недавней миссии «Гюйгенс-Кассини» к спутнику Сатурна Титан. Эксперимент длился около восьми лет (с 1997 г.). В результате были непосредственно исследованы физические свойства грунта и получены фотографии поверхности Титана.
В настоящее время в России практические разработки инерциальных систем, основанных на волновых твердотельных гироскопах высокого и среднего классов точности, на большинстве фирм приостановлены. Тем не менее, исследования не прекращены полностью. Например, в РПКБ ведется разработка бесплатформённой навигационной системы БИНС-ТВГ, создан опытный образец и проведены испытания, показавшие следующие точности навигации: порядка 8 км/ч по скоростям и 13 км по координатам за час работы [16].
Как видно из этих данных, система пока еще является достаточно грубой, что, прежде всего, обусловлено качеством датчиков инерциальной информации. Изготовление высококачественных резонаторов сопряжено со значительными технологическими проблемами. Основными из них являются: однородность материала, отсутствие внутренних механических напряжений и дефектов, необходимость очень точно выдерживать геометрические параметры резонатора и окружающих его элементов и т. д. Кроме этих, имеется множество других проблем, связанных, например, с электроникой, но поскольку все эти вопросы далеки от темы настоящего исследования, описывать их подробнее не будем.
Оказывается, что принципиальных препятствий для создания волновых гироскопов фактически нет. Теоретические результаты и опыт разработки датчиков различными компаниями позволяют говорить об их перспективности. К несомненным достоинствам этих приборов можно отнести такие качества, как малое энергопотребление, малые габариты, относительно невысокая стоимость при серийном производстве (в особенности для датчиков низкого класса точности) и такое примечательное свойство, как сохранение работоспособности при кратковременном отключении питания прибора.
Последнее свойство имеет место при использовании резонаторов с высокой добротностью, достаточной для того, чтобы при кратковременном отключении колебания резонатора не успевали затухнуть или существенно изменить форму. Лазерные и волоконно-оптические гороскопы, получившие в настоящее время наибольшее распространение в серийных и разрабатываемых инерциальных системах навигации, таким свойством не обладают и при любом отключении немедленно теряют информацию.
В последнее время активно продолжается разработка микромеханических датчиков инерциальной информации. Использование вибрационных гироскопов в области микромеханики также представляется наиболее перспективным. Применение иных типов гироскопов при уменьшении размеров часто приводит к принципиальным трудностям. Например, точность оптических гироскопов определяется площадью контура и, следовательно, уменьшается обратно пропорционально квадрату линейного размера. Механические гироскопы малых размеров, очевидно, трудны в изготовлении.
Такова краткая история и перспективы развития гироскопических устройств, основанных на использовании эффекта инертности упругих волн.
Задачи, рассмотренные в частях 1,3 настоящей работы, возникли из теории вышеописанных устройств и по существу представляют собой продолжение исследований, опубликованных в [17]. В части 2 исследуется вопрос о построении БИНС на основе двух изотропных пространственных осцилляторов, в которых возбуждены колебания круговой формы. При их решении используется следующий математический аппарат.
Основным объектом исследований являются системы обыкновенных дифференциальных уравнений [5,39,42,43], которые линейным невырожденным преобразованием приводятся к виду где? — малый параметр, а частоты подчинены резонансному соотношению (0х.С0п—тх.тп, т1. Такая ситуация называется резонансом типа т1:.:тп. Для анализа уравнений применяются как стандартные методы работы с дифференциальными уравнениями, в том числе использующие понятия теории групп Ли, так и новый подход, впервые предложенный в [17] и описанный далее.
Из стандартных асимптотических методов применяется метод осреднения в первом и втором приближениях. Решение задачи о стабилизации колебаний заданной формы опирается на факты, известные из математической теории устойчивости [11,15,19,33,34,45,50].
При использовании нового метода исследования многие аналитические проблемы переносятся на геометрический уровень. В связи с этим используются различные результаты известные из геометрии и линейной алгебры [6,12,44].
Потребность в создании нового асимптотического метода была продиктована следующими обстоятельствами. Исследование уравнений, описывающих динамику упругих волн во вращающихся осесимметричных резонаторах, привело к постановкам новых задач, не решаемых классическими методами теории возмущений и теории управления. Их решение и потребовало создания нового метода в теории нелинейных колебаний.
Он был разработан В. Ф. Журавлевым и опубликован в [17]. В этой работе впервые был предложен геометрический метод в теории возмущений резонансных систем. Ниже перечислены основные идеи этого подхода.
В работе [17] показано, что каждой форме колебаний порождающей системы (получающейся из исходной системы при игнорировании возмущений) соответствует определенное многообразие в пространстве постоянных интегрирования. Дана классификация эволюций формы колебаний под действием возмущений и построен базис инфинитезимальных эволюций. Предложена идея раскладывать силы возмущений по базису инфинитезимальных эволюций, что, в свою очередь, позволяет классифицировать силы возмущений по признакам вызываемых ими эволюций формы колебаний. Поставлена и решена принципиально важная задача стабилизации прямолинейных колебаний при постоянно действующих возмущениях для резонансов типа 1:1 и 1:1:1. Ее значимость связана с непосредственными техническими приложениями, описанными выше, и тем фактом, что любая форма колебаний порождающей системы неустойчива без стабилизирующей ее обратной связи. Прямолинейная форма выбирается из соображений минимизации действия возмущений, пропорциональных квадратуре (площади эллипса, представляющего собой форму колебаний порождающей системы и способного вырождаться в прямую).
В части 1 данной работы предпринимается попытка обобщения метода [17] на резонансные системы более общего вида. Следует отметить, что повышение размерности системы и кратности резонанса усложняет задачу и подходы, предложенные в [17], путем формального «копирования» применить не удается. Для преодоления возникающих трудностей предложен новый набор медленных переменных типа полярных координат. Это позволило сильно упростить геометрическую часть задачи. Проблема стабилизации формы также упрощается, однако предложенное управление имеет существенный недостаток, вызванный необходимостью возвращения к исходным переменным. Оказывается, что при этом неизбежно появляются функции с особенностями. Сравнение управлений, взятых из статьи [17] и полученных в данной работе проводится в одном из разделов части 1.
Очень интересным фактом, впервые установленным в [18], является принципиальная возможность построения полностью автономной бесплатформенной инерциальной навигационной системы на основе единственного изотропного пространственного осциллятора. Теория такой системы построена в [18] и основана на тех же общих принципах, что и работа [17].
В части 2 диссертации рассматривается упрощенная задача [47], когда колебания невозмущенного осциллятора имеют круговую форму, что приводит к потере информации об ориентации относительно оси, ортогональной плоскости колебаний. Однако содержательность задачи оправдана возникающим при этом значительным упрощением по сравнению с общим случаем. Потерю контроля за одной вращательной степенью свободы нетрудно компенсировать установкой еще одного датчика, возбудив в нем колебания в плоскости, ортогональной плоскости колебаний первого датчика.
Для решения очерченного круга проблем обычно используется метод осреднения в первом приближении. Как показывает практика [54,55,60], достигаемая при этом точность оказывается приемлемой, однако известно, что за достаточно большое время величины, не учитываемые в первом приближении, в принципе могут привести к качественным изменениям.
Этот факт оправдывает исследование тех же задач при помощи построения высших приближений. В части 3 при помощи метода осреднения во втором приближении исследуется обратная связь, предложенная в [17]. Показано, что учет второго приближения не позволяет выявить принципиальных недостатков этого управления.
Части 4 и 5 посвящены решению двух различных задач методом инвариантной нормализации гамильтоновых систем, разработанного.
В.Ф. Журавлевым [19,23,24] и являющегося одним из алгоритмов построения нормальной формы Биркгофа [6,17,21,22]. Основная идея метода инвариантной нормализации изложена в работе [17] для случая автономных систем. Обобщение задачи нормализации гамильтониана на неавтономные системы и в более общей постановке сделано в [21].
Метод инвариантной нормализации обладает рядом значительных преимуществ по сравнению с другими способами нахождения нормальной формы гамильтониана. Прежде всего, необходимо отметить несоизмеримо меньшие вычислительные трудности по сравнению с другими алгоритмами нахождения нормальной формы. Нормальная форма любого порядка строится по одной скалярной рекуррентной формуле, тогда как использование любого другого способа нахождения нормальной формы сопряжено с крайне громоздкими действиями, такими, как обращение степенных рядов векторных функций.
Известно, что наличие у системы резонанса [4,9,26,36,37,46] или неавтономности, как правило, затрудняет ее исследование. Чтобы обойти эти трудности приходится делать дополнительные замены переменных или искусственно повышать порядок системы. При использовании метода инвариантной нормализации в этих случаях никаких проблем не возникает, поскольку процедура построения нормальной формы остается неизменной вне зависимости от того, является ли система автономной либо резонансной или нет. Это свойство, очевидно, также является значительным преимуществом по сравнению с другими подходами.
В части 4 рассматривается задача о трехмерных колебаниях тяжелой материальной точки, подвешенной на невесомой пружине при резонансе 1:1:2, где 1 — соответствует частоте колебаний линеаризованной системы в горизонтальной плоскости, 2 — частоте колебаний по вертикали. Считается, что сила, возникающая при деформации пружины, пропорциональна этой деформации.
Подобная задача в плоской постановке (когда колебания точки происходят в некоторой вертикальной плоскости, а частоты также соотносятся как 1:2) была введена в рассмотрение Виттом и Гореликом в 1933 г. для иллюстрации явления внутреннего резонанса. Позже она исследовалась в достаточно большом количестве работ, например [8,28,37,40,46]. Было установлено, что при резонансе в системе наблюдается эффект перекачки энергии между вертикальной и горизонтальной модами колебаний, представляющий собой периодический процесс перестройки колебаний из почти вертикальных в почти горизонтальные и обратно. Исследование задачи в этих работах проводилось известными классическими методами теории возмущений и, как правило, было достаточно громоздким, что связано с наличием резонанса.
Подход, основанный на методе инвариантной нормализации, позволяет обойти сложности, обусловленные резонансом. Впервые исследования плоской задачи этим методом были опубликованы в работе [28]. Наиболее полные материалы по задаче приведены в статье [40]. В этой работе были вновь получены уже известные свойства системы, однако потребовавшиеся для этого расчеты оказались значительно более компактными по сравнению с предыдущими исследованиями. Кроме сокращений выкладок, приводящих к известным фактам, метод инвариантной нормализации позволяет получить ряд новых результатов. Сюда следует отнести выводы об устойчивости периодического решения и асимптотические разложения для периода перестроек.
Использование инвариантной нормализации при изучении трехмерной системы [41] позволяет обобщить на пространственный случай большинство фактов, установленных для плоской задачи. Однако в трехмерном случае появляются особенности, присущие именно пространственной задаче. При наличии сколь угодно малой проекции кинетического момента на вертикаль в трехмерном случае появляется эффект, названный разворотом плоскости колебаний. Период перестройки мод колебаний в этом случае всегда конечен.
В части 5 рассматривается задача о колебаниях газового пузыря неподвижного относительно идеальной жидкости с поверхностным натяжением. Колебания подразделяются на радиальные, связанные с изменением радиуса сферического пузыря, и деформационные, связанные с изменением его формы. Деформированная форма пузыря аппроксимируется эллипсоидом вращения. Решение этой задачи в линейной постановке хорошо известно [31,32,38]. Точное решение нелинейной задачи построить не удается и для ее исследования, как правило, используют либо численные, либо асимптотические методы. Например, в работе [1] для решения аналогичной задачи при наличии внешнего возбуждения используется численный метод седьмого порядка аппроксимации. В статьях [53,56−58] применяются разложения по малому параметру деформации пузыря и привлекается идея осреднения. Для уничтожения секулярных членов в выражении для энергии в работе [53] используется метод двух масштабов.
Для аналитического исследования задачи удобно использовать лагранжев формализм. При этом способе решения система, состоящая из сплошных сред, описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями Лагранжа, а не уравнениями в частных производных. Обобщенными координатами служат геометрические параметры поверхности, аппроксимирующей форму пузыря. Лагранжиан для указанной системы может быть получен из функции, приведенной в [31]. Параметры системы (внешнее давление, радиус пузыря, поверхностное натяжение жидкости.) подбираются так, что в линеаризованной системе реализуется резонанс 1:2, где 1 соответствует частоте деформационной, а 2 — радиальной мод колебаний. После этого лагранжиан газового пузыря раскладывается до членов третьего порядка включительно и делается переход к безразмерным координатам и времени, что значительно упрощает его вид. Некоторые члены в полученном разложении оказываются резонансными.
Исследование данной нелинейной системы также проводится методом инвариантной нормализации, для чего делается переход от лагранжевой формы уравнений к их гамильтоновой форме. Гамильтониан системы после нормализации оказывается фактически идентичным гамильтониану плоской задачи о качающейся пружине, отличаясь от него лишь коэффициентом перед кубическим членом. Это позволяет дословно перенести все результаты, известные из решения задачи о качающейся пружине.
Таким образом, две совершенно разные задачи сводятся к исследованию одних и тех же уравнений одинаковым методом. Применение инвариантной нормализации позволяет обойти трудности, возникающие при использовании других способов решения и значительно сократить выкладки.
Далее анализируется вопрос о корректности постановки задачи. Дело в том, что в реальных средах неизбежно протекают диссипативные процессы. Поэтому идеализированную постановку задачи можно считать имеющей отношение действительности лишь при условии малой интенсивности диссипативных процессов на промежутках времени, характерных для задачи. Вычисление декрементов затухания показывает, что для веществ с физически реализуемыми параметрами вязкости и температуропроводности влияние диссипации достаточно велико и будет значительно мешать наблюдаемости процесса перестройки мод колебаний. Нужно отметить, что эту оценку состоятельности идеализации задачи нельзя было сделать предварительно, поскольку для этой оценки необходимо знать характерное время периода перестройки, которое нельзя вычислить, не решая саму задачу.
В каждой части работы, включая введение используется своя нумерация формул.
7. Выводы.
