Проверка нормальности распределения по критерию согласия Колмогорова Л. Н

В качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим законами распределения в критерии Колмогорова А. Н. выбрано максимальное значение й модуля разности между эмпирической функцией распределения /" *(*) и выбранной теоретической функцией распределения /^г(*).

При этом Колмогоровым А. Н. доказано, что независимо от вида предполагаемой функции распределения непрерывной случайной величины X в случае неограниченного увеличения числа независимых измерений п

вероятность неравенства /)л/й > Я стремиться к пределу вероятности />(я), равному:

При практическом применении критерия согласия Колмогорова А. Н. величина Я, являющаяся критериальным параметром, принимается равной Я = ?) /л. Значение О находится после построения на одном графике эмпирической и теоретической функций изображением этих функций и представляет величину й. Затем по вычисленному значению Я по таблице 7.5 определяется вероятность /?(я) как вероятность того, что за счет случайных причин максимальное расхождение между эмпирической и теоретической функциями распределения будет не меньше, чем полученное из результатов измерений. Следовательно, если вероятность /э (Я) достаточно большая, то гипотезу о соответствии опытного распределения теоретическому следует рассматривать как правдоподобную, не противоречащую опытным данным.

Особенности применения этого критерия согласия рассмотрим на том же примере, которым иллюстрировался порядок использования критерия хиквадрат.

На рисунке 7.1 на одном графике показаны зависимости теоретической (сплошная линия) и эмпирической (штриховая линия) функций распределения погрешности наведения радиотелескопа в пределах абсолютных погрешностей от -8 до +8 угловых с.

Анализ рисунка 7.1 показывает, что при небольшом масштабе трудно определить точку, в которой расхождение между эмпирической и теоретической кривой будет наибольшим (значение й). При крупномасштабном представлении кривых максимальное расхождение оказывается при значении погрешности Д = 0 угловых с, когда О = 0,02. Находим значение критериального параметра.

Рисунок 7.1 — Теоретическая и эмпирическая функции погрешности наведения радиотелескопа.

Произведя необходимую экстраполяцию значений Я между 0,4 и 0,5 (значения взяты из таблицы 7.5), получим вероятность /?(Д), близкую к 0,98. Это как раз тот случай, когда можно было бы предложить столь превосходное подтверждение выдвинутой гипотезы о нормальном законе распределения погрешностей как свидетельство наличия не случайных причин. Но в данном случае подобный подход не следует делать, поскольку эксперимент привлек весьма обширную информацию (500 результатов измерений).

Таблица 7.5 — Критериальные значения.

С другой стороны, требуется обсудить результаты расчетов, проведенных с помощью критерия^{-Квадрат,} когда при тех же условиях вероятность «сходимости» распределений р = 0,6 существенно меньше вероятности р (Х)= 0,98. Все объясняется тем, что как и в случае применения критерия хиквадрат, так и критерия Колмогорова А. Н. мы предполагаем общий вид закона распределения, а числовые параметры этого закона нам неизвестны и определяются на основе полученных при измерениях статистических данных. При применении критерия хи-квадрат это приближение учитывается путем введения некоторого числа независимых условий (число 5), уменьшающего число степеней свободы распределения хи-квадрат, что ведет при данной величине X^{1 к} уменьшению вероятности «сходимости» /?, как это нетрудно видеть из рассмотрения таблицы значений хи-квадрат (приложение Ж). В случае критерия Колмогорова А. Н. подобное «ужесточение» отсутствует, и это обстоятельство при прочих равных условиях приводит к завышению значений вероятности р (Л). Таким образом, отличаясь простотой применения, критерий Колмогорова А. Н. уступает критерию хи-квадрат по степени доверия к результатам идентификации законов распределения. Это же обстоятельство определенным образом снимает ограничения на имеющееся число измерений в случае использования критерия хи-квадрат. Во многих случаях число измерений, превышающее 30…40, позволяет использовать их результаты для идентификации закона распределения с помощью критерия хи-квадрат.

Кроме рассмотренных критериев согласия, применяются и другие, например, метод моментов. Так, ранее говорилось, что каждое распределение случайной величины имеет начальные и центральные моменты высших порядков (третьи, четвертые), характеризующие форму закона распределения: асимметричность, остроили плосковершинность и т. д. Метод моментов, в частности, использует понятие контрэксцесса, равного корню квадратному отношению СКО в четвертой степени к четвертому центральному моменту (//₄).

Найдя по результатам измерений значений 5* и //₄, а также эмпирического значения можно сопоставить это значение известным из математической статистики значениям контрэксцесса теоретического закона распределения и, таким образом, идентифицировать форму эмпирического закона.

В таблице 7.6 приведены значения контрэксцесса для некоторых законов распределения.

Однако применение метода моментов требует наличия более обширной информации. Известно, что для надежной оценки первого момента (математического ожидания) требуется выборка я >30, для оценки вторых моментов — я >100, а при оценке третьих моментов требования к объему выборки становятся реально невыполнимыми (я = 1000). Таким образом, применение метода моментов при обычных, небольших выборках (число измерений не превышает 100) практически ограничено.

Таблица 7.6 — Основные критериальные параметры законов распределения.

Наименование закона распределения.
Нормальный.			0,577.
Треугольный. (Симпсона).		— 0,6.	0,646.
Равномерный.		— 1,2.	0,745.
Арксинусный.		— 1,5.	0,816.