Моделирование работы АЦП

Пример результата простейшего моделирования сигнала АЦП приведен на рис. 5.27 и 5.28.

Рис. 5.27. Работа АЦП, смоделированная в программе VisSim.

При моделировании работы АЦП следует учитывать способ преобразования сигнала, поскольку он определяет и величину задержки сигнала, и многие другие параметры. На сайтах разработчиков зачастую имеются программы, позволяющие смоделировать работу конкретных видов АЦП (не только типа, но и конкретного вида микросхемы). Достаточно задать лишь математическую модель идеального входного сигнала, чтобы получить последовательность отсчетов АЦП для этого случая. Это сильно упрощает анализ погрешности устройства, спроектированного на данном АЦП.

Рис. 5.28. Результат моделирования работы АЦП в программе VisSim при разном шаге квантования.

В статье [20] дано достаточно детальное описание принципа работы 2Д АЦП, а в статье [21] приведено моделирование работы в программе VisSim.

Теорема Котельникова применительно к дискретизации сигналов

При применении АЦП необходимо выполнение условий теоремы Котельникова.

В иностранной литературе также встречается название «теорема Шеннона» или «теорема Котельникова — Шеннона», «теорема отсчетов».

Ее суть состоит в том, что непрерывный сигнал с ограниченным спектром можно абсолютно точно представить набором его отдельных значений («отсчетов»), следующих с равными интервалами, при условии, что частота следования этих отсчетов как минимум вдвое превышает верхнюю границу спектра указанного сигнала.

Введем термины. Верхняя (граничная) частота спектра сигнала/_в — это та частота, выше которой никаких компонент в спектре сигнала не содержится. Само значение этой частоты может содержаться в спектре, но с пренебрежимо малой амплитудой.

Теорема Котельникова для АЦП: на один период Т_в верхней частотной границы /_в = 1/Г_в спектра преобразуемого сигнала должно приходиться не менее двух отсчетов АЦП. Иными словами, частота квантования /_к должна как минимум вдвое превышать верхнюю частоту сигнала/_в:

В этой записи знаки неравенства должны быть одинаковыми, а именно, допустима и такая запись:

Если слева поставить знак «больше», а справа — «больше или равно», то получится неверное утверждение, включающее в себя, в частности, тезис о том, что гармонический сигнал частоты/_в можно якобы представить последовательностью отсчетов, идущих с частотой, соответствующей получению всего двух отсчетов на период. Ошибочность такого утверждения иллюстрирует рис. 5.29. Сама частота/_в не должна содержаться в сигнале, как следует из соотношения (5.2), либо частота 2/_в не должна быть разрешена для значения /_к, как следует из соотношения (5.3), поскольку по двум отсчетам на период даже теоретически невозможно восстановить исходный гармонический сигнал. Действительно, если для гармонического сигнала u (t) = sin2n/_Bf принять.

то в зависимости от t₀ различные отсчеты значений будут иметь разные фазы:

где ср₀ = 2л/_вГ₀. Через эти точки можно провести бесконечное множество гармонических сигналов той же частоты, но различной амплитуды и фазы (см. рис. 5.29).

Рис. 5.29. Неоднозначность восстановления гармонического сигнала по двум отсчетам на период.

Требования, сформулированные теоремой Котельникова, лишь теоретически достаточны для восстановления сигнала по оптимальному правилу и применительны лишь к идеализированному сигналу (с ограниченным спектром), который в природе не встречается.

Во-первых, конечный (ограниченный) спектр может характеризовать лишь бесконечный во времени сигнал. Во-вторых, само значение отсчетов должно быть взято с наивысшей точностью (идеально). В-третьих, на практике невозможна ситуация, чтобы при некоторой частоте квантования сигнал можно восстановить идеально, а при частоте на любую сколь угодно малую величину 8 °F больше эта задача была неразрешимой. Кроме того, процедура восстановления исходного сигнала по его отсчетам Д никогда не бывает оптимальной, поэтому на практике рекомендуется использовать заведомо большую частоту квантования по времени (частоту взятия отсчетов).

Например, если частота получения отсчетов равна /_к = 48 кГц, то спектр входного сигнала теоретически не должен содержать компоненты с частотой более/_в = /_к/2 = 24 кГц.

Оптимальная процедура восстановления непрерывной функции по ее дискретным значениям состоит в аппроксимации сигнала суперпозицией функций вида u,-(t) = Д sinx/x, где х = 2л/_в(t — ?Т_К) (рис. 5.30).

Рис. 5.30. Восстановление сигнала по отсчетам:

а — вид аппроксимирующих функций; б — результат восстановления На практике чаще применяют процедуру кусочно-линейной интерполяции (рис. 5.31). Следует также учесть, что теорема Котельникова сформулирована для сигнала с конечным спектром, а конечным спектром обладает лишь бесконечный во времени сигнал. Следовательно, предельный случай, рассмотренный в теории, никогда не реализуется в жизни. Теоретически верное утверждение не имеет существенного практического значения, поскольку условия этого утверждения (конечный спектр) на практике никогда не выполняются. Следовательно, необходим запас по сформулированному требованию еще как минимум в к = 1,5-г 2 раза. Целесообразно задавать/_к = 2/_в • к.

Рис. 5.31. Кусочно-линейная аппроксимация дискретного сигнала.

Возникает вопрос о том, как понимать отсутствие в спектре сигнала частот выше граничной частоты. Целесообразно выбрать минимальный уровень (уровень шумов). Если амплитуды присутствующих компонент в спектре преобразуемого сигнала ниже этого уровня, можно считать, что они отсутствуют. Логично за такой уровень принять величину, равную половине младшего разряда АЦП.

Действительно, разрядность АЦП формирует требования по допустимой погрешности. Остатки высокочастотных сигналов не должны превышать по амплитуде половину веса младшего разряда АЦП. Например, если частота получения отсчетов равна / = 96 кГц, разрядность — N = 18, а диапазон входных сигналов — 1 В, то спектр входного сигнала не должен содержать компоненты с частотой более f_K/2k~ 30 кГц и амплитудой, превышающей 0,5 мкВ.

Если спектр сигнала ограничен, но сигнал зашумлен, то фильтр необходим для устранения шумов в соответствии с требованиями теоремы Котельникова. Если даже часть сигнала не отвечает требованиям этой теоремы, то высокочастотная часть спектра сигнала также должна устраняться фильтром НЧ, а не устройством выборки-хранения (УВХ). Применение УВХ на выходе фильтра допустимо, имеет смысл лишь для устойчивой работы АЦП, а не как фильтрующего устройства, поскольку в противном случае такое устройство продлит кратковременный импульс помехи, тем самым увеличит ошибку.

Применение внешних коммутаторов аналоговых сигналов для построения многоканальных АЦП может существенно снизить точность. В любом случае применение УВХ между коммутатором и АЦП нецелесообразно, поскольку в этом случае (рис. 5.32) УВХ после каждого переключения находится в режиме переходного процесса с большими начальными отклонениями, соответствующими различию сигналов в соседних каналах. Для окончания переходного процесса с требуемой точностью необходимо значительное время.

Рис. 5.32. Нежелательный (ошибочный) способ повышения количества каналов АЦП.

Рис. 5.33. Допустимый способ повышения количества каналов АЦП.

Пусть время выборки до точности в пределах 5 = 1% составляет.

= 50 нс. Это означает, что ошибка за указанное время снижается в 100 раз. Указанная погрешность соответствует 7-разрядному АЦП (2? = 128).

Предположим, мы хотим применить 20-разрядный АЦП. Погрешность входного сигнала должна быть меньше, чем 2~²⁰ ~ 10~⁶ = (10~²)³. Следовательно, при том же УВХ время выборки должно быть больше чем 3t_a = 150 нс. Переключение каналов отнимает много времени, а значит, можно использовать менее быстрый и более дешевый АЦП. Способ соединения, показанный на рис. 5.33, предпочтителен, если коммутатор обеспечивает относительно быструю передачу сигнала с входа на выход с требуемой точностью. В этой схеме фильтры на входе каждого канала ограничивают спектр обрабатываемых сигналов, поэтому переходные процессы в УВХ осуществляются при малых начальных отклонениях и быстро входят в режим.

При потребности в многоканальных АЦП предпочтительно применение такой микросхемы либо отдельного АЦП на каждый канал, опрашиваемых последовательно содержащимся в нем или внешним цифровым процессором. Это особенно важно для систем высшей точности (для научных целей), поскольку стоимость эксперимента, ценность получаемой информации и требования к достоверности результата высоки, а экономия количества микросхем ценой потери быстродействия или точности неуместна.

Вследствие рассмотренных обстоятельств можно рекомендовать предпочтительный вариант создания многоканальной схемы измерения, показанный на рис. 5.34.

Некоторые микросхемы АЦП с ХД-модуляцией выпускаются в многоканальном исполнении, причем увеличение количества каналов обеспечивается именно за счет коммутации. На основании приведенных выше аргументов мы не рекомендуем использование этих АЦП в многоканальном режиме. При необходимости достижения наивысшей точности рекомендуется использование только одного канала, остальные каналы следует отключить, а при невозможности их отключения — включить параллельно с первым каналом.

Рис. 5.34. Рекомендуемый способ создания многоканального АЦП.