Аналитические решения уравнений теплопроводности при стационарных режимах

Для описания процессов переноса теплоты в вещественной среде в общем случае можно использовать дифференциальные уравнения: сплошности (раздел 2.5), движения (раздел 2.7), энергии (раздел 2.10) и др.

Для описания конкретного процесса переноса теплоты к названным уравнениям необходимо добавить краевые условия. В некоторых случаях система из перечисленных дифференциальных уравнений и краевых условий может быть решена аналитически (см. ниже).

Основные дифференциальные уравнения сплошности (2.38), движения (2.45, 2.46) и энергии (2.63) выражают фундаментальные законы сохранения массы, импульса (количества движения) и энергии. Кроме того, они содержат гипотезы (закон вязкого трения Ньютона и закон Фурье), подтвержденные экспериментом.

Для решения конкретных гидродинамических и тепловых задач следует сформулировать краевую задачу (начальные граничные условия) для указанных уравнений.

Задание краевых условий заключается в формулировке начальных условий, т. е. значений искомых функций в начальный момент времени (т =.

0), и граничных условий на поверхностях, ограничивающих движущуюся жидкость.

Для скорости вязкой жидкости такими условиями будет, как известно, равенство нулю скорости жидкости (w = 0) на неподвижных поверхностях твердых тел, с которыми соприкасается движущаяся жидкость. В случае движущегося твердого тела скорость жидкости у этой поверхности должна быть равна скорости поверхности.

Что касается уравнения энергии (2.63), то для искомой функции (температуры) могут быть заданы следующие граничные условия:

• — первого рода (задают значения температуры на ограничивающих движение жидкости поверхностях). В общем случае температура на границе может зависеть от координат точек границы и времени;
• — второго рода (на поверхности задана плотность теплового потока, т. е. производная от температуры по нормали к поверхности, в виде функции времени и координат точек поверхности);
• — третьего рода (тепловой поток предполагается пропорциональным разности температур стенки и жидкости);

В этом условии должен быть задан коэффициент а, а также температура 7/,.

— четвертого рода (условия сопряжения), которые сводятся к одновременному заданию равенства температур и тепловых потоков на границе раздела двух сред (твердое тело-жидкость, твердое тело-твердое тело, жидкость-жидкость), в каждой из которых перенос теплоты описывается своим уравнением энергии.

Эти условия допускают различные модификации в зависимости от физических условий на границе раздела сред. Так, например, если между двумя твердыми телами контакт не является идеальным, то условие (А) может содержать скачок температур. Если на границе раздела имеются источники (стоки) теплоты (химическая реакция, фазовый переход), то в условие (В) следует включить тепловой поток, возникающий в результате наличия поверхностного источника.

Некоторые физически важные граничные условия не входят в приведенную классификацию граничных условий. Так, например, при теплообмене излучением тепловой поток оказывается пропорциональным разности температур стенки и газа в четвертой степени.

При стационарном режиме температурное поле Г (х_э<у, г, х) не зави;

дТ _Л

сит от времени т, т. е. — = 0.

Дифференциальное уравнение теплопроводности (2.64).

приобретает вид:

Для решения конкретной задачи к уравнению (13.1) следует задать соответствующие граничные условия.

Рассмотрим вывод аналитических решений по определению поля температур в телах различной формы для стационарных условий.