Электростатическая фокусировка электронных пучков

Основываясь на существующей в электронной оптике аналогии между движением электронов в электрических полях и распространением световых лучей в прозрачных средах, введем понятие электронных линз. На практике для построения линз применяются электрические поля с непрерывным изменением потенциала и напряженности, так как только такие поля могут быть созданы электродами, расположенными за пределами пучка. Поэтому в технологических ЭЛУ для фокусировки электронных пучков в качестве линз используют неоднородные электрические и магнитные поля, имеющие симметрию теп вращения. Картина осесимметричного электрического поля изображена на рис. 2.9.

Для расчета распределения осесимметричного электрического поля, в случае, если можно пренебречь пространственным зарядом электронного пучка, может использоваться уравнение эллиптического типа.

где U—скалярный потенциал, г и z — радиальная и осевая координаты соответственно.

Данное уравнение обычно решается численными методами с применением ЭВМ. Потенциалы электродов задаются в виде граничных условий, уравнение разделяется по переменным г и z. Затем численным путем с заданным шагом сетки по г и z рассчитывается векторное поле напряженности в соответствии с выражением (2.4). Выражения для проекций приращений скоростей Av_r, Av_? и координат Ar, Az частицы на временном интервале (т, т₂) можно записать следующим образом.

где t — время, Е_гнЕ_г — проекции вектора напряженности электрического поля.

Расчет траекторий путем решения уравнений (2.10)—(2.11) для всего рассматриваемого множества заряженных частиц потребует очень большого объема вычислений даже в двумерном случае. Необходимо не только просчитывать перемещения частиц, движущихся одновременно с существенно отличающимися скоростями — в начале ускоряющего промежутка и в пространстве дрейфа, но и учитывать действие собственных зарядов частиц на их траектории. При действии объемного заряда пучка для расчета распределения электрического поля в вакууме используется уравнение.

Рис. 2.9. Осесимметричное электрическое поле как электронная линза:

а — рассеивающая, б — фокусирующая; I — электрод (диафрагма);

2 — эквипотенциальные поверхности; 3 — векторное поле напряженности электрического поля; 4 — траектория электрона

где p (r, z,/) — плотность пространственного заряда, создаваемого пучком заряженных частиц, расположенных в зоне действия поля, ?₀ — электрическая постоянная. Так как число частиц, проходящих в единицу времени от катода к аноду, огромно, и в то же время заряд каждой частицы влияет на форму пучка, расчет плотности заряда также требует неоправданно большого объема вычислений. Поэтому для большинства практических задач используют иные методы расчета траекторий. Например, расчет траектории каждой заряженной частицы проводится последовательно и независимо от других, а сами траекторные уравнения записываются в виде функций r (z) путем исключения из них переменной времени t. Такой подход к решению задачи расчета траекторий, характерный для электронной оптики, вытекает из принципа наименьшего действия и позволяет применять для расчета траекторий частиц те же уравнения, которые используются для расчета хода лучей в системах световых линз, что будет показано далее.

Вид приближенного аналитического решения уравнения (2.9) представляет интерес с точки зрения закономерностей фокусировки электронных пучков. Приближенное решение находится в виде ряда (штрихи означают дифференцирование по z) и имеет вид:

Это выражение позволяет рассчитать осесимметричное электрическое поле, если известно распределение потенциала вдоль оси z, т. е. U₀(z).

В электронно-лучевых пушках обычно используются узкие приосевые пучки электронов. В этом случае нет необходимости исследовать поле вдали от оси системы, так как на формирование пучка оказывает влияние лишь приосевое (параксиальное) поле.

Обычно принимают два условия параксиальности:

• 1. Удаление траекторий от оси симметрии очень мало, так что величина г оказывается много больше, чем г².
• 2. Угол наклона траекторий к оси симметрии на всем их протяжении настолько мал, что можно считать проекцию скорости электронов на эту ось v, равной самой скорости v.

С учетом первого условия параксиальности можно ограничиться рассмотрением лишь двух первых членов ряда в выражении (2.13), т. е. рассматривать распределение потенциала вблизи оси системы в виде:

Продифференцируем выражение (2.14) по г, в результате чего получим:

т.е.

Из выражения (2.13) следует, что радиальная составляющая напряженности электрического поля прямо пропорциональна радиальной координате г, т. е. линейно растет с удалением от оси, а на оси обращается в нуль. Составляющая Е_г формирует радиальную составляющую силы Лоренца (вектор F, показан на рис. 2.9), которая перемещает электрон к оси (фокусирует пучок) при {/q >0 (что соответствует нарастанию напряженности поля вдоль оси), или перемещает электрон от оси (расфокусирует пучок) при [/q<0. Фактически, уравнение 2.13 показывает, что аксиально-симметричное электрическое поле является электронной линзой, собирающей или рассеивающей, в зависимости от знака второй производной распределения потенциала вдоль оси симметрии.

Ускорение, сообщаемое электрону силой Лоренца в радиальном направлении имеет вид.

В соответствии со вторым условием параксиальности, скорость, приобретаемую электронами в направлении оси симметрии можно приближенно считать равной их полной скорости, определяемой величиной потенциала на оси в соответствии с выражением (2.7):

dz

причем данное выражение будет справедливо и при ^_и, т. е.

в случае, когда электрон в начальной точке движения с потенциалом на оси U_Q(0) =0 имеет нулевую скорость. Перепишем выражение для радиальной составляющей ускорения электрона (2.17) в виде.

и подставим в него выражение для осевой скорости (2.19). Это позволит исключить переменную времени, упростить выражение и получить:

После дифференцирования полученного выражения в соответствии с правилом дифференцирования произведения функций окончательно получаем выражение для расчета траектории электрона в аксиально-симметричном электрическом поле, получившем название основного уравнения электронной оптики для электрического поля:

Уравнение (2.22) показывает важные свойства электронных линз, образованных аксиальными электрическими полями:

• 1. В параксиальном приближении расчет траекторий частиц может проводиться только по распределению потенциала вдоль оси симметрии системы (линзы, пушки).
• 2. В уравнение (2.21) не входят ни масса, ни заряд частиц. Это позволяет провести еще одну аналогию между световой и электронной оптикой и получить целый ряд простых выражений для расчета геометрических параметров электронных пучков, непосредственно связывающих траектории лучей с аналогами оптических показателей преломления — распределениями электрических потенциалов и их производных. Однако это вовсе не означает, что в реальности частицы с различными массами и зарядами будут двигаться по идентичным траекториям. Для одинаково заряженных частиц с различными массами траектории будут совпадать только в случае равенства начальных энергий, при этом время пролета поля будет, естественно, отличаться. Если частицами являются не электроны, а положительно заряженные ионы, то сила, действующая на частицы, будет направлена в противоположную сторону, т. е. так же, как и вектор напряженности, и поэтому в уравнениях (2.17), (2.18) и (2.19) изменится знак в правых частях. Поэтому для того, чтобы положительные ионы двигались по тем же траекториям, что и электроны (влетевшие в линзу с той же начальной энергией), знаки потенциалов электродов, образующих линзу, должны быть обращены на противоположные, что можно показать математически при выводе уравнения (2.22).
• 3. Уравнение линейно и однородно как относительно U (z), так и относительно r (z). Отсюда следует, что пропорциональное изменение потенциалов всех электродов, образующих линзу, не будет влиять на траектории, а также то, что при изменении линейных размеров электродов траектории частиц будут оставаться геометрически подобными.