Колебательные движения в вязкой жидкости

До сих пор мы рассматривали стационарные течения вязкой жидкости. В качестве примера нестационарного движения рассмотрим неограниченный объем вязкой жидкости, в котором находится твердая пластина, совершающая колебательные движения в своей плоскости (рис. 13).

Рис. 13.

Пусть скорость и колебаний пластины имеет вид.

Для дальнейшего удобно представить эту скорость в комплексном виде Как обычно, чтобы получить физически правильные результаты, в окончательных выражениях мы будем учитывать только вещественные части комплексных переменных.

Из соображений симметрии следует, что все координаты х равноправны, следовательно, компоненты скорости и давления в жидкости не могут зависеть от х. Очевидно, они также нс могут зависеть от координаты у, кроме того, в силу равноправия положительных и отрицательных направлений вдоль оси Оу компонента v_v должна быть равна нулю.

Поскольку скорость не зависит от коррдинаты х, в уравнении несжимаемости divv = 5v_t / дх + дх. / 8z = 0 первая из производных равна нулю. Следовательно, и дх, / & = 0, т. е. компонента скорости v_ не зависит от координаты z. Поскольку на пластине, т. е. при z = 0, в силу ее непротекания выполняется равенство х. = О, то и во всем пространстве эта компонента скорости равна нулю. Таким образом, ненулевой оказывается только компонента скорости v_v, которая может зависеть только от координаты z.

Учитывая сказанное, приходим к следующей форме уравнения Навье — Стокса:

Здесь v = г) / р — кинематическая вязкость жидкости; для краткости мы обозначили v как v.

х

Решение уравнения (79) ищем в виде совпадающем с (78) при z = 0. Подставляя (80) в (79), получаем.

В верхней полуплоскости мы должны здесь выбрать знак «плюс», чтобы нс допустить стремления скорости в бесконечность при удалении от пластины, т. е. при z —" оо. Таким образом, приходим к следующему выражению для скорости жидкости:

Выделяя реальную часть, получаем.

Жидкость распространяется вдоль оси z в виде бегущей волны с экспоненциально затухающей амплитудой скорости. Величина б является характерной глубиной проникновения колебаний в глубь жидкости — если z «8, то амплитуда скорости жидкости много меньше амплитуды м₀ колебаний пластины.

Используя (81), вычисляем напряжение на пластине: