Коэффициент зацепления. 
Характеристика коэффициента зацепления

Для двух не пересекающихся друг с другом ориентированных контуров x, у в пространстве (х — первый контур, у — второй) можно следующим образом определить некоторое целое число, называемое коэффициентом зацепления этих контуров. Рассмотрим нормальную проекцию переплетения х U у на некоторую («горизонтальную») плоскость и пусть a — двойная точка на этой проекции, в которой контур х идет ниже, чем у. Если, двигаясь вблизи, а по направлению контура х, мы увидим (в проекции), что, у пересекает его слева направо (рис. 1, а), то точке a припишем число +1, а если справа налево (рис. 1, б), то -1. В остальных.

Рис. 3.

случаях (т. е. если пересекаются два участка одного и того же контура или если контур х проходит выше, чем у) двойной точке а припишем число 0. Сумма этих чисел по всем двойным точкам на проекции называется коэффициентом зацепления и обозначается черезм (х, у).

Пример 1. Для двух соседних звеньев обычной металлической цепи (рис. 2, а) коэффициент зацепления равен ±1 (рис. 2, б). Для контуров, изображенных на рис. 3, имеем м (х, у) = 3.

Рис. 4.

Как мы увидим дальше, коэффициент зацепления м (x, y) зависит лишь от расположения самих контуров ж, у, а не от способа проектирования. Далее, если контуры х, у непрерывно деформируются в пространстве (например, движутся, как шарнирные ломаные), оставаясь в каждый момент не пересекающимися, то их коэффициент зацепления м (x, у) не меняется. Наконец, отметим, что коэффициент зацепления м (х, у) является (с точностью до знака) изотопическим инвариантом. Иначе говоря, если f — гомеоморфное отображение трехмерного пространства на себя, то при этом отображения х, у переходят в такие контуры f (х), f (у), что м (f (х), f (y)) = ± м (х, у).

Пример 2 . Дважды перекрученная лента гомеоморфна неперекрученной (.рис. 4) эти фигуры не изотопны друг другу в пространстве. Теперь мы можем это доказать. В самом деле, коэффициент зацепления краев ленты равен в случае дважды перекрученной ленты ±1 (в зависимости от того, в какую сторону перекручена лента), а в случае неперекрученной ленты — нулю (рис. 5). Поэтому при гомеоморфном отображении пространства на себя дважды перекрученная лента не может перейти в не перекрученную. Дважды перекрученная лента не может быть превращена в неперекрученную, как бы мы ни деформировали ее (оставляя гомеоморфной себе); ведь при такой деформации края ленты перемещаются, не пересекаясь друг с другом, и потому коэффициент зацепления измениться не может. гомеоморфизм конгруэнтность фигура топологический.

Пример 3. Постоянный ток I, протекающий по бесконечному прямолинейному проводу Р, создает магнитное поле, напряженность которого на расстоянии r от провода имеет величину.

Рис. 5.

равный единице, в заданную точку поля. В рассматриваемом случае потенциал W магнитного поля многозначен. Действительно, если из точки х0 перемещать магнитный полюс в точку, а по двум путям, показанным на рис. 6, а, б.

Рис. 6.

то первое перемещение требует дополнительной работы против силы — на пути 2рr, т. е. дополнительной работы, численно равной 4рI. Мы видим, что один обход вокруг провода (не обязательно по окружности — можно идти по любому пути) меняет магнитный потенциал W (а) на величину 4 рI. Вообще, после n обходов вокруг провода, где n — целое число (положительное, отрицательное или нуль), потенциал изменится на 4 рI n. То же выражение для изменения потенциала справедливо в случав любого (не обязательно прямолинейного) провода, Число обходов («витков») пути г вокруг проводника Р равно взятому со знаком минус коэффициенту зацепления проводника Р с путем z, т. е. при обходе вокруг проводника Р по замкнутому пути z магнитный потенциал меняется на величину 4л Im, где т =- м (Р, r). Величину In иногда называют «числом ампервитков» (если ток I измеряется в амперах).

Теперь дадим другое (эквивалентное) определение коэффициента зацепления. Будем представлять себе контуры ж, у лежащими «почти целиком» в плоскости нормальной проекции, так что лишь вблизи двойных точек один из них проходит чуть ниже другого. Далее, рассмотрим ориентированную пленку Q, натянутую на контур у (контур у виден целиком, если смотреть на пленку Q сверху), причем будем считать, что эта пленка «провисает», располагаясь вблизи своего края почти вертикально (рис. 9). Тогда в тех двойных точках, в которых контур х идет выше у, он проходит и выше пленки Q, т. е. не пересекает ее. В тех же точках, где контур у проходит ниже у, он пересекает пленку Q; при этом рассматриваемый участок контура х имеет с пленкой Q индекс пересечения +1, если, глядя по направлению линии х, мы видим, что линия у пересекает ее cлева направо (рис. 10, а) и -1, если пересечение происходит справа налево (рис. 10, б). Из этого следует (если сравнить определение коэффициента зацепления и индекса пересечения), что справедливо равенство м (x, у) = J (x, Q),.

где Q — двумерная ориентируемая пленка, натянутая на контур у и согласованно с ним ориентированная.

Рис. 6.

Как известно, потенциалом магнитного поля называется работа, которую надо затратить, чтобы из некоторой фиксированной точки х0 (точки нулевого потенциала) переместить магнитный полюс, Равенство (1) останется справедливым, если взять любую пленку Q. В самом деле, пусть имеются две различные ориентируемые пленки Q, Q', натянутые на контур у и ориентированные согласованно с ним. Рассмотрим разность пленок Q и Q', т. е. объединение пленки Q с имеющейся на ней ориентацией и пленки Q' с противоположной ориентацией. Эта разность является двумерным целочисленным циклом (даже если Q и Q' пересекаются). Так как индекс пересечения целочисленного цикла ж с этим двумерным циклом равен нулю, то J (x, Q) = J (х, Q').Из равенства (1) следует, что коэффициент зацепления (первоначально определенный с помощью нормальной проекции) н е зависит от выбора плоскости проекции. Из (1) вытекают также и другие упоминавшиеся выше свойства коэффициента зацепления.