Теоремы существования и единственности

Поговорим о теоремах, которые утверждают существование объектов, удовлетворяющих определенным свойствам.

Заключение

таких теорем содержит квантор существования.

Пример 4.2.1. Рассмотрим теорему о плотности множества рациональных чисел: «Между любыми двумя действительными числами лежит хотя бы одно рациональное число».

Выделим условие и заключение теоремы. Вначале сформулируем теорему в условной форме: «Если х и у — различные действительные числа, то существует рациональное число которое лежит между ними».

Введем два предиката: А (х, у) = «х и у — различные действительные числа», P (tjc, y) = «/ - рациональное число, которое лежит между д: и у».

Предложение А есть условие теоремы.

Заключение

правильно записать формулой 31 Р (/, лу).

Тогда исходная теорема будет иметь вид: V*Vv (Л (*,>') -> 3/ P (tjc, y)). •.

Теорема, заключение которой содержит квантор существования, называется теоремой существования.

Пример 4.2.2. Рассмотрим теорему: «В любой треугольник можно вписать окружность».

Пусть переменная х обозначает треугольник, переменная t окружность.

Возьмем предикат P (x, t) = «Окружность t вписана в треугольник х (то сеть касается всех его сторон)».

В теореме говорится о существовании объекта / при условии, что уже выбран объект х. Логическая структура предложения может быть выражена формулой УдгЗ/ P (x, t).

Менять местами кванторы нельзя. Предложение «Существует окружность, которая вписана в любой треугольник», неверно. •.

Бывает, что квантор существования стоит на первом месте. В этом случае теорема утверждает существование конкретного объекта в рассматриваемом контексте.

Пример 4.2.3. «Существует функция, определенная на всей числовой прямой, которая разрывна в каждой точке».

Для доказательства этой теоремы нужно привести пример конкретной числовой функции. Определим такую функцию, называемую функцией Дирихле. Каждому рациональному числу поставим в соответствие 1, а любому иррациональному числу — 0. Строгое доказательство того, что эта функция разрывна в каждой точке, требует четкого определения непрерывности, которое дается в курсе математического анализа. •.

Итак, в общем случае теорему существования можно записать формулой V, v (А (х) —> 31 P (tjc)). В частности, условие А может отсутствовать. Тогда теорема имеет вид V. y3/ P (x, t) или 3/ P (t).

Иногда формулировка теоремы существования нс содержит напрямую слова «существует».

Пример 4.2.4. «Квадрат любого четного числа имеет вид 4п, где п — целое число».

Переформулируем данное предложение, выделив квантор существования: «Для любого целого числа х если ;с четное, то существует целое число /?, такое, что х²=4п».

Запишем предложение символически:

Теоремы, подобные примеру 4.2.4, в общем случае имеют такую формулировку: «Произвольный объект х из множества D можно представить в видеx—f (а), где аеМ». Здесь буква/обозначает некоторый терм, D и М- множества. Символическая запись предложения такова:

Пример 4.2.5. «Не существует рационального числа, квадрат которого равен 2».

Переформулируем теорему, используя законы логики:

Тогда данная теорема может быть сформулирована так: «Квадрат любого рационального числа нс равен 2». •.

Часто встречаются теоремы, в которых утверждается существование ровно одного объекта, обладающего некоторым свойством. Такие теоремы называются теоремами существования и единственности.

Пример 4.2.6. «Пусть а — произвольное действительное число. При любом нечетном числе п уравнение х'^г = а имеет ровно один действительный корень».

Данное предложение является конъюнкцией двух теорем. Сформулируем их, полагая по умолчанию, что а — произвольное действительное число.

• 1) «При любом нечетном п уравнение х^п = а имеет хотя бы один корень».
• 2) «При любом нечетном п уравнение х^п=а нс может иметь двух различных корней». •

Предложение «Существует ровно один объект, обладающий свойством Р» кратко записывают формулой 3х Р (х) или 3х Р (х). Приведем другие варианты чтения этого предложения:

• — «Существует единственный объект, обладающий свойством Р».
• — «Существует единственный х, такой, что Р (х)».
• — «Существует объект, обладающий свойством Р, и притом только один».

Разберемся в логической структуре теоремы существования и единственности.

Предложение 3! л; Р (х) равносильно конъюнкции двух предложений:

А = «Существует хотя бы один объект, обладающий свойством Р» и.

В = «Неверно, что существуют хотя бы два различных объекта, обладающих свойством Р».

Предложение А может быть записано формулой Зх Р (х). Для того чтобы записать логическую структуру предложения В, воспользуемся законами логики:

Полученную формулу можно прочитать так: «Какие бы два объекта мы ни взяли, если они оба удовлетворяют свойству Р, то они совпадают». На основе правила контрапозиции предложение можно переформулировать следующим образом: «Никакие два различных объекта одновременно свойством Р не обладают». Даже с интуитивной точки зрения должно быть понятно, что последнее предложение равносильно В.

В математике предложение В принято формулировать по следующей схеме:

«Существует не более одного объекта, обладающего свойством Р», или «Если существует объект, обладающий свойством Р, то только один».

В первом предложении между словами «существует» и «не более одного» нет знака конъюнкции. Поэтому истинность такого предложения нс означает существования объекта.

Пример 4.2.7. Предложение «Существует нс более одного простого числа, делящегося на 6» является истинным. Действительно, простых чисел, делящихся на 6, нет ни одного, что следует из определения простого числа. •.

Предложение «Существует не более одного объекта, обладающего свойством Р» равносильно предложению «Ни один объект не обладает свойством Р, или существует единственный объект, обладающий свойством Р».

Далее приведем примеры теорем существования и единственности и пример теоремы, в которой говорится о существовании не более чем одного объекта.

Пример 4.2.8. Теорема «В любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну» равносильна конъюнкции двух следующих теорем.

«В любой треугольник можно вписать окружность» — теорема существования.

«Любые две окружности, вписанные в треугольник, совпадают» — теорема о единственности окружности. •.

Пример 4.2.9. Рассмотрим пример теоремы, в которой говорится о единственности представления натурального числа в определенном виде.

«Любое натуральное число, большее 1, можно представить в виде произведения простых чисел, и притом единственным образом, с точностью до порядка следования множителей».

Запишем теорему в символическом виде:

Фраза «С точностью до порядка следования множителей» означает, что рассматривается неупорядоченный набор простых чисел рРь*" 4>_п- Например, наборы 2,2,2,3 и 3,2,2,2 совпадают, то есть 24 = 2−2-2−3 = 3−2-2−2 — одно представление. •.

Пример 4.2.10. Рассмотрим теорему, в которой говорится о единственности окружности, вписанной в четырехугольник, но не утверждается ее существование:

«В четырехугольник можно вписать не более одной окружности».

Теорему можно сформулировать так: «Если в четырехугольник можно вписать окружность, то только одну».

Истинность данного предложения не означает существования вписанной в четырехугольник окружности. Например, в прямоугольник, нс являющийся квадратом, нельзя вписать ни одной окружности. •.