Правило суммы. 
Математика: логика, теория множеств и комбинаторика

Сформулируем правило суммы (или, по-другому, принцип сложения) в общем виде на языке множеств.

Пусть множество S разбито на классы А/. Л₂, …, А,. Тогда число элементов множества S вычисляется по формуле:

Таким образом, чтобы найти число элементов в S, надо сосчитать число элементов в каждом классе и сложить полученные числа.

В частности, если множество S разбито на 2 класса А и В. то.

S = И1 + |й|.

Сформулируем правило суммы на другом языке.

Пусть существует П] объектов, обладающих свойством А у, /ъ объектов, обладающих свойством А₂, и так далее, п, объектов, обладающих свойством А, при этом ни один объект не обладает одновременно двумя свойствами. Тогда число объектов, обладающих одним из указанных свойств (либо А/, либо А2, либо А), равно сумме п/+п₂+… +п,.

Пример 9.2.1. Используя принцип сложения, найдем число двузначных чисел, первая цифра которых меньше 4, а вторая цифра нечетна и отлична от первой.

Существует четыре числа, у которых первая цифра равна 1. Существует пять чисел, у которых первая цифра равна 2, и пять чисел, у которых первая цифра равна 3. Следовательно, чисел, у которых первая цифра равна либо 1, либо 2, либо 3, ровно 4+5+5=14. •.

Пример 9.2.2. В урне А лежат 7 белых, 2 синих и 3 зеленых шара, в урне В лежат 5 белых, 4 синих и 2 зеленых шара. Сколькими способами можно выбрать из каждой урны по шару так, чтобы они были одного цвета?

Вначале сосчитаем, сколькими способами можно выбрать из каждой урны по белому шару. Фиксируем порядок выбора: вначале из урны А, затем из урны В (порядок выбора можно поменять, это никак не отразится на числе комбинаций). Из урны А белый шар можно выбрать семью способами, из урны В белый шар можно выбрать пятью способами. По правилу произведения находим 7−5=35 вариантов выбора белых шаров.

Аналогичным образом считаем число способов выбрать из обеих урн синие шары: 2−4=8, затем зеленые шары: 3−2=6.

Теперь находим число вариантов выбрать шары одного цвета: белого, синего, или зеленого. По принципу сложения имеем 35+8+6=49 вариантов выбора. •.