Средние по рядам динамики

Для обобщения информации по рядам динамики рассчитываются:

• • средний уровень ряда;
• • средний абсолютный прирост;
• • средний темп роста и прироста.

Для разных видов рядов динамики средний уровень рассчитывается неодинаково.

По интервальному динамическому ряду из абсолютных величин с равными интервалами средний уровень определяется по средней арифметической простой из уровней ряда:

где у; — уровень ряда для г-го периода; п — число уровней в ряду динамики.

По данным табл. 5.3 средний годовой объем произведенный продукции составит: у = 170/5 = 34 тыс. шт., т. е. в среднем ежегодно на предприятии в период 2013—2017 гг. производилось данное количество продукции.

По интервальному временному ряду из относительных и средних величин средний уровень определяется так же, как в статике, т. е. с учетом информации по признакам, связанным с осредняемым. Например, средний процент прибыли от инвестиций должен определяться как средняя арифметическая взвешенная:

где у —процент прибыли от инвестиций; х — объем инвестиций.

По моментному динамическому ряду средний уровень ряда определяется тремя способами (в зависимости от исходной информации).

1. Если известны данные об изменении уровня ряда внутри временного промежутка, то средний уровень определяется как средняя арифметическая взвешенная:

где у, — уровень моментного динамического ряда; f, — период, в течение которого уровень у₍ остался неизменным, т. е. период действия уровня у,.

Пример 5.1.

Остаток средств на расчетном счете предприятия на 1.01 составил 100 тыс. руб., 10.01 поступило от покупателей 250 тыс. руб., 15.01 списано со счета на хозяйственные нужды 15 тыс. руб., 18.01 снято со счета для выплаты заработной платы 180 тыс. руб., 25.01 поступило от покупателей 420 тыс. руб. Других изменений до конца месяца не было. Определим средний остаток средств на расчетном счете в январе (табл. 5.7).

Таблица 5.7

Расчет среднего остатка средств на расчетном счете.

Окончание табл. 5.7

Исходя из данных табл. 5.7, получаем: у = 8765/31 = 282,7 тыс. руб.

Рассмотренный метод расчета среднего уровня моментного динамического ряда является наиболее точным.

2. Если нет информации об изменении уровня моментного ряда внутри рассматриваемого временного промежутка, то средний уровень определяется приближенно как средняя арифметическая взвешенная из парных смежных средних:

где t, — период сохранения среднего значения у,-; у, — смежные парные средние, найденные как средняя арифметическая простая из двух рядом стоящих уровней, т. е.

Товарные запасы в магазине составили (тыс. руб.): на 1.01 — 600; на 1.04 — 750; на 1.08 — 500; на 1.11 — 620; на 1.01 следующего года — 800. Определим среднегодовой товарный запас в магазине (табл. 5.8).

Таблица 5.8

Расчет среднегодового товарного запаса.

Величина У (отражает средний уровень за определенный интервал времени. Так, с 1.01 по 1.04, т. е. за I квартал средний товарный запас составил 675 тыс. руб. ((600 + 750) / 2). Исходя из данных табл. 5.8, среднегодовой остаток товаров в магазине составил у = 7625 /12 = 635 тыс. руб.

3. Если интервалы между датами равны, то средняя арифметическая взвешенная преобразуется в тождественную ей среднюю хронологическую:

На балансе предприятия имеется оборудование: на 1.01 — 800 тыс. руб., на 1.04 — 1000 тыс. руб., на 1.07 — 1600 тыс. руб. на 1.10 — 1100 тыс. руб, на 1.01 следующего года — 1400 тыс. руб. В отличие от предыдущего примера интервалы между датами равны кварталу. Определим среднюю стоимость оборудования для каждого квартала в отдельности:

I квартал — (800+1000) / 2; II квартал — (1000+1600) / 2;

III квартал — (1600+1100) /2; IV квартал — (1100+1400) / 2.

Далее определяем, какая стоимость оборудования была в течение года в среднем для квартала. Для этого нужно сложить квартальные средние и разделить их сумму на 4: ((800 + 1000) /2 + (1000 + 1600) / 2 + (1600 + 1100) / 2 + + (1100+ 1400)/2)/4.

Нетрудно видеть, что данная формула преобразуется в среднюю хронологическую, а именно: ((800 / 2) + 1000 + 1600 + 1100 + (1400 / 2)) / 4 = = 1200 тыс. руб.

Широко используют средние изменения уровней ряда, а именно: средний абсолютный прирост и средний темп роста.

Средний абсолютный прирост определяется как средняя арифметическая простая из цепных приростов:

где п — число цепных абсолютных приростов.

ПОСКОЛЬКУ Х^Дцепные ^{=базисное,} ТО СреДНИЙ абСОЛЮТНЫЙ ПрирОСТ можно определять как.

где у_п — последний уровень динамического ряда; у₀ — уровень взятый за базу уравнения.

Применительно к данным табл. 5.3 получим: Д = 5 + 10 + 5 + 10/4 = = 30 / 4 = 7,5 тыс. шт., или, А = (¼) (50 — 20) = 7,5 тыс. шт/, т. е. в среднем ежегодный объем произведенной продукции возрастал на 7,5 тыс. ед.

Для обобщения характеристики интенсивности роста рассчитывается средний темп (коэффициент) роста по формуле средней геометрической простой:

где К_ь К₂, …, К_п — цепные коэффициенты роста; п — число цепных коэффициентов роста.

Применим эту формулу к данным табл. 5.3. Получим: т. е. средний темп роста составит 125,7%.

Ввиду взаимосвязи цепных и базисных темпов роста, средний темп роста можно представить как

По данным примера имеем:

В средней геометрической корень степени определяется как разность хронологических дат: 2017 — 2013 = 4.

Рассмотренные средние показатели динамики могут использоваться при экстраполяции тенденции как простейшего приема прогнозирования. Предполагая стабильным абсолютный прирост, т. е. арифметическую прогрессию уровней, прогноз осуществляется по формуле.

где у_р — прогнозируемый уровень; у_п — конечный уровень ряда (или другой, взятый за базу сравнения); А — средний абсолютный прирост; L — период упреждения, т. е. на сколько интервалов времени делается прогноз. Так, по табл. 5.3 прогноз объема производства на 2019 г. составляет: 50 + 7,5 • 2 = 65 тыс. шт.

Предполагая стабильным темпы роста, т. е. геометрическую прогрессию уровней, прогноз проводится по формуле.

где К — средний коэффициент роста.

По данным табл. 5.3 прогноз на 2019 г. по данной формуле составит: 50 • 1,25 7² = 79 тыс. шт.