Доверительные интервалы и доверительные вероятности как характеристики уровня финансового риска

Положения предыдущего параграфа, хотя и являются общими, т. е. сформулированы при достаточно широких предположениях, не дают возможности установить, насколько близки оценки, полученные по выборкам, к оцениваемым парамеграм. Из факта, что оценки являются состоятельными, следует только то, что при увеличении объема выборки значение /^,(|9* — 0| 0 приближается к 1.

Возникают следующие вопросы:

• • Каким должен быть объем выборки и, чтобы заданная точность |0* — 01 = 5 была гарантирована с ранее принятой вероятностью, иначе говоря, сколько данных следует проанализировать, чтобы достаточно верно оценить риск?
• • Какова точность оценки риска, если объем выборки известен и вероятность безошибочности вывода задана?
• • Какова вероятность того, что при заданном объеме выборки будет обеспечена заданная точность оценки?

Чтобы ответить на эти вопросы, нам понадобится несколько новых определений, а также освоение правил работы со статистическими гипотезами.

Опредсление 1. Вероятность у выполнения неравенства |0‘ - 01 < 5 называется доверительной вероятностью или надежностью оценки е*.

Перейдем от неравенства |0* — 0| < 5 к двойному неравенству. Известно, что |0* - 0| <5 равносильно 0' - 8 < 0 < 0* + 5. Поэтому доверительную вероятность можно записать в виде.

Так как 0 (оцениваемый параметр) — число постоянное, 0* — величина случайная, понятие доверительной вероятности можно сформулировать так: доверительной вероятностью у называется вероятность того, что интервал (0' -5,0* + 5) накрывает оцениваемый параметр.

Определение 2. Случайный интервал (0* - 5, 0* + 8), в пределах которого с вероятностью у находится оцениваемый параметр, называется доверительным интервалом I, соответствующим коэффициенту доверия у:

Надежность оценки у может задаваться заранее, тогда, зная закон распределения изучаемой случайной величины, можно найти доверительный интервал /. Решается и обратная задача, когда по заданному / находится соответствующая надежность оценки.

Пусть, например, у = 0,95, тогда число р = 1 — у = 0,05 показывает, с какой вероятностью заключение о надежности оценки ошибочно. Число р = 1 — у называется уровнем значимости. Уровень значимости задается заранее и обычно принимается равным 0,05; 0,01; 0,001.

Выясним, как построить доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенного признака, т. е. установим, в каких случаях правомерно оценивать финансовый риск по нормальному закону, что рекомендуют практически все учебники по финансовому менеджменту.

Известно, что для нормально распределенной случайной величины Л" и ее выборочной средней Х_в выполняется:

Оценим математическое^ожидание с помощью выборочной средней Х_в, учитывая, что Х_в также имеет нормальное распределение. Имеем для доверительной вероятности у и величины отклонения 8, что.

а по формуле для нормального распределения получаем.

Тогда, с учетом дисперсии среднего, имеем.

Для удобства пользования таблицей функции Лапласа положим.

накрывает математическое ожидание М (Х), а значит и наиболее вероятное значение для нормально распределенной случайной величины, с вероятностью у.

Но в реальной практике оценки финансовых рисков среднее квадратическое отклонение о (АО прогнозируемого параметра неизвестно. Поэтому вместо, а (АО при большой выборке идут на применение исправленного выборочного среднего квадратического отклонения s, являющегося, в свою очередь, оценкой о (АОПри этом полагают, что s =.

л-1.

О _в. с учетом такого допущения доверительный интервал будет иметь следующий вид:

Пример. С вероятностью у = 0,95 найти доверительный интервал для, а (X) — нормы прибыли фирмы. Распределение задается таблицей 2.1, в которой вместо интервалов изменения (х" х, + ,) взяты числа (х" х, + _t)/2%. Считать, что случайная величина нормы прибыли X подчинена нормальному распределению.

Таблица 2.1

Значения нормы прибыли.

Решение. Выборка достаточно большая, поскольку мы имеем общее число наблюдений л = 50. В реальной жизни это означало бы, что просмотрены балансы фирмы за 50 лет. Можно ли по таким данным прогнозировать результаты бизнеса фирмы на 51-й год ее работы? Думаю, читатель уже улыбнулся. Но, следуя традиционным рекомендациям наших современных учебников, продолжим вычисления. Имеем.

Таким образом, с надежностью у = 0,95 математическое ожидание нормы прибыли заключено в доверительном интервале / = (9,5%; 10,3%).

Итак, в случае известности нормальности распределения исследуемого показателя и большой выборки (а это означает п > 30, тогда исправленное среднее квадратическое отклонение незначительно отклоняется от о), можно найти доверительный интервал для наиболее вероятного значения показателя, по которому оценивается риск. Но сформировать большую выборку, как только что мы убедились, удается не всегда, да и не всегда целесообразно, а чем меньше п, тем шире доверительный интервал, т. е. I зависит от объема выборки п.