Доверительные интервалы для параметров других распределений

При выполнении достаточно широких условий оценка 0 параметра 0 имеет асимптотически нормальное распределение с М0 = 0 и DQ = ^СТ

п

где а²(0) — дисперсия одного наблюдения, в общем случае зависящая от параметра 0.

Познакомимся с двумя методами построения доверительного интервала для параметров других распределений.

Метод подстановки. Доверительный интервал строится следующим образом. Условие асимптотической нормальности означает, что.

0—>N (M0,D0) = N| 0, или что статистика г| = -^—^-Vn ->N (0,1).

^ п) о (0).

С надежностью у случайная величина г| попадает в интервал (-х_кр; х_кр),.

0 — 0 г~

т.е. Р{-х_кр < г| < х_кр} = у. Решая неравенствох_кр <�—— %/п <�х_кр, полу;

Теоретическая задача 14.6. Найти доверительный интервал для эффективной оценки 0 параметра 0 при условии ее асимптотической нормальности.

Решение. Дисперсия оценки в случае ее эффективности равна D0=—-—. Случайная величина г|= JH- = (0−0)Vn/(0) —>N (0,1).

пт VD0.

Пусть вероятность случайной величине г| попасть в промежуток (-х_кр; х_кр) равна у. Тогда.

у где х_кр разыскивается из уравнения Фо (х_кр) = ^.

Окончательно 0 —, ^кр < 0 < 0 н—, ^кр. ?

^хко

Замечание 14.3. Полуинтервал (точность оценки) 5= ,—!_=? зависит от параметра 0, что делает интервальное оценивание не вполне корректным. Подстановка вместо параметра 0 оценки 0 при вычислении границ доверительного интервала смещает интервал, изменяет его длину, иногда значительно.

Метод подстановки (МП) дает хорошую оценку границ в двух случаях:

• 1) дисперсия оценки DO не зависит от параметра 0;
• 2) удается решить уравнение 6 = 9+х_кр. Тогда подстановка 0 вме-

сто 0 не требуется.

Если оценка методом подстановки не привела к одному из этих случаев, к погрешности за счет асимптотического приближения добавляется погрешность, возникающая при замене 0 на 0. Оценка границ доверительного интервала становится еще более приблизительной и используется поэтому при грубом оценивании доверительного интервала.

Метод функционального преобразования. Для границ доверительного интервала предложена схема исключения зависимости 8 от параметра 0, названная методом функционального преобразования (МФП) и заключающаяся в следующем. Неизвестный параметр 0 преобразуется в параметр g (0) посредством некоторой функции у = g (x), а оценка 0 — в оценку g (0), так чтобы дисперсия новой оценки Dg (6) не зависела от 0.

Теорема 14.1 (об асимптотически нормальном распределении случайной величины). Пусть выполнено следующее:

• 1) точечная оценка 0 параметра 0 имеет асимптотически нормальное распределение;
• 2) математическое ожидание МО по крайней мере не является асимптотически смещенным, дисперсия DO конечна;
• 3) некоторая функция у = g (x) дифференцируема и монотонно возрастает.

Тогда случайная величина ц = g (0) также асимптотически нормально распределена с Mg (0) = g (0) и Dg (.Q) = (.g'e)2DQ, т. е. g (0)->N (g (0),(ge)2D0).

? Функция распределения случайной величины r| = g (9) имеет вид Fn (y) = P{g (Q) Для нее можно написать Fn (y) = P{0−1(y)} = Fg (x).

Плотность распределения случайной величины ц равна.

1 1.

так как х_у = — =—.

Ух gx

Считая по условию теоремы х = g^-1 (у) дифференцируемой функцией от у, разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки 0:

Тогда.

где g'_x — производная, взятая в точке х = 0, что можно записать как.

&х &0*.

Подставим это выражение в формулу для плотности нормального распределения:

что позволяет, задав дифференцируемую функцию g (0), говорить об асимптотической нормальности случайной величины г|=g (9) с параметрами Mr| = g (0) и Dr| = (ge)²D0.

Поэтому можем написать.

Доказанная теорема позволяет подобрать функцию g (0) таким образом, чтобы для выражения (g₍',)²D9 было выполнено равенство (gg)²D9 = 1

Решая дифференциальное уравнение, получим^, откуда.

^de V nDQ

следует выражение для нахождения вспомогательной функции g (0):

Таким образом, опираясь на доказанную теорему, можно утверждать, что g (0)—>JV^g (0), — J и, следовательно, (g (6)-g (0))%/n^N (0,1).

Исходя из неравенства |(g (0)-g (0))/n для функции g (0) может быть построен доверительный интервал g (0) —j=- < g (0) < g (0) н—j=-, где _Л, , у %/n vn.

по-прежнему ФоС*кр)^{=Окончательно} при монотонно возрастающей функции g (0) доверительный интервал для 0 выглядит так:

где символ arcg означает обратную функцию по отношению к зависимости у = g (x).

Замечание 14.4. Если оценка 0 параметра 0 является эффективной (D0 =-), то функция g (0) находится как интеграл от корня из инфор;

пШ

мации Фишера:

Замечание 14.5. Функция у = g (x) может монотонно убывать. В этом случае надо следить за знаками неравенства, которые будут меняться при переходе от функций к их аргументам.

Замечание 14.6. Точечную оценку© можно получить, используя любой метод, поскольку достаточно несмещенности и состоятельности оценки. Если ММ-оценка смещена, ее нужно исправить. Использование смещенной оценки может привести к смещению доверительного интервала.

Подведем итог статистическому оцениванию параметров распределения на основе выборки.

Построение доверительного интервала требует проведения двух операций:

• 1) нахождение точечной статистической оценки параметра;
• 2) построение доверительного интервала вокруг точечной оценки.

Статистическая точечная оценка может быть получена в менее точном приближении методом моментов (ММ), в более точном — методом максимального правдоподобия (ММП) или байесовским методом (БМ). Доверительный интервал также может быть найден менее точным методом подстановки (МП) или более точным методом функционального преобразования (МФП).

Способы нахождения доверительного интервала сведем в табл. 14.1.

Таблица 14.1

Способы нахождения доверительного интервала.

Наиболее точный доверительный интервал в общем случае возникает при использовании метода максимального правдоподобия для нахождения точечной статистичесой оценки и метода функционального преобразования при построении доверительного интервала вокруг этой оценки.

Часто полученная статистическая точечная оценка асимптотически нормальна, например представляет среднее значение измерений при конечных математическом ожидании и дисперсии. Построенный на основе такой оценки доверительный интервал называется асимптотическим.

Пример 14.2. Построить асимптотический доверительный интервал для параметра 0 случайной величины равномерно распределенной на отрезке [0; 0], каждым из приведенных способов.

Решение. 1. ММ — МП.

Используем метод моментов для нахождения точечной оценки и метод подстановки, чтобы найти доверительный интервал.

Найдем точечную оценку параметра 0 методом моментов:

откуда получаем 0 = 2х.

Убедимся, что полученная оценка не смещена:

Найдем дисперсию оценки:

Оценка 0 асимптотически нормальна как сумма наблюдений независимых случайных величин с конечными математическим ожиданием и дисперсией:

Статистика ц =-[3п —> N (0,1). С надежностью у случайная величина ц.

• 0
• 0 _ 0 _

попадает в интервалх_кр <-V3п < х_кр. Решая неравенство относительно 0.

и заменяя 0 на 2х, получим.

2. ММ —МФП.

Введем функцию g (0) = J , — VnDO.

Построим доверительный интервал.

имеющий в нашем случае вид.

Разделим на 7з, пропотенцируем:

*кр ^хкр и окончательно получим 2хе >/зп < 0 < 2хе^.

3. ММП — МП и ММП — МФП.

Оценка, полученная посредством ММП, есть 0 = х_тах. Она смещена. Исправленная оценка имеет вид 0 = х_тах f 1 + — Оценка не является асимптотически нормальной. К ней не могут быть применены методы, основанные на асимптотической нормальности.

Замечание 14.7. Хотя границы полученных в примере доверительных интервалов выглядят по-разному, они близки и с ростом п продолжают.

^хёр сближаться. Это можно понять, разложив экспоненту е^ в ряд Маклорена: