Элементы классической статистической физики. 
Функции распределения и их роль

Классическая статистическая физика описывает макросистемы, состоящие из множества микрочастиц, с помощью законов классической механики (механики Ньютона). Примером системы, подчиняющейся законам классической статистической физики, является идеальный газ. Отметим, что в ряде случаев такой подход непригоден для описания движения микрочастиц и необходимо применять законы квантовой механики и квантовую статистическую физику.

Одним из основных понятий статистической физики является вероятность. Пусть система может находиться в различных физических состояниях. Предположим, что эти состояния дискретны, характеризующие их физические величины меняются скачками и каждое состояние характеризуется определенным значением A_i некоторой физической величины А (в частном примере это может быть модуль скорости молекул). В некоторых состояниях система будет проводить большее время, в некоторых — меньшее. Будем измерять величину А некоторое число раз N. Пусть N, — число измерений, каждое из которых дает значение измеряемой величины А, равное А-. Вероятностью w_i того, что величина А имеет значение Л, называется предел отношения числа N, к полному числу измерений N при бесконечно большом N:

В классической физике физические величины обычно принимают не дискретные (квантованные), а непрерывные значения. Пример непрерывных классических величин — координата, скорость, импульс, энергия и т. д. Редкое исключение — дискретность длин волн стоячей волны струны. Впрочем, для многих задач классическая механика оказывается недостаточно верной, а квантовая механика — слишком сложной, и применяются комбинированные, квазиклассические методы. Так, энергию поступательного движения молекул газа при нормальных условиях обычно можно считать непрерывной, а энергию колебательного и вращательного движения сложных молекул — дискретной.

Описание непрерывных физических величин выполняется аналогично дискретным, но вероятности выражаются в дифференциальной форме (а суммы заменяются интегралами). Так, например, для скорости молекул вероятность dw (v) того, что скорость молекулы принимает значения в интервале от v до v + dv, дается аналогичным (9.10) выражением.

где dN (v) — число измерений, в которых скорости молекул попали в интервал от v до v + dv. Очевидно, что суммарная вероятность всех допустимых состояний системы равна единице. Для дискретной величины это означает, что.

Пусть в результате измерений установлено, что величина Л с вероятностью dze>(A) попадает в интервал значений от Л до Л + d/. Тогда можно ввести функцию распределения /(Л), характеризующую плотность распреде- «dw (A)

ления вероятностей —-—: dA

Функция распределения показывает вероятность, приходящуюся на единицу измерения физической величины Л. Рассмотрим некоторые ее свойства. Во-первых, функция распределения не может быть отрицательной величиной, так как вероятность является неотрицательной:

Несложно интегрированием в нужных пределах соотношения (9.14) найти вероятность того, что измеренное значение попадет в эти пределы Л, < Л < Л₂:

И интегрированием в допустимых пределах (9.14) от Л_га|п до Л_тах получим условие нормировки функции распределения

которое показывает, что вероятность попадания измеренного значения в весь допустимый интервал возможных значений Л_|Ып < Л < Л_шах равна единице.

Существенно, что функция распределения позволяет определить среднее значение любой функции <�р (Л):

Так, если ср (Л) = Л, то получим среднее значение Л_ср, если <�р (Л) = Л², то получим средний квадрат Л²_В и т. д. Отметим, что обычно в физических распределениях Л_ср 5* Л_кв, причем различаются они на множитель порядка (но не равный!) единицы.

Нередко помимо физической величины Л состояние системы характеризуется физической величиной В. Например, это могут быть скорость п координата или две проекции скорости. В этом случае для двумерной функции распределения по аналогии с формулой (9.14) имеем.

а вероятность нахождения системы в состоянии со значениями этих величин в пределах А, < А < Л₉ и B_t < В < В₂ по аналогии с формулой (9.16) определяется двумерным интегралом.

По теории вероятностей для независимых событий справедлива теорема умножения вероятностей. Поэтому для случая статистической независимости значений параметров А и В друг от друга двумерная функция распределения /(Л, В) равна произведению одномерных функций распределения:

Такая статистическая независимость часто имеет место в статистической физике, что позволяет рассчитывать сложные многомерные распределения.

Широкие возможности нахождения различных вероятностей, усреднений и т. д. делают функцию распределения одним из ключевых понятий статистической физики. Поэтому необходимо вывести характерные функции распределения и проанализировать их свойства.

Контрольные вопросы и задания

• 9.1. Сформулируйте основное положение молекулярно-кинетической теории на примере идеального газа.
• 9.2. Выведите основное уравнение МКТ и и покажите его связь с уравнением Клапейрона — Менделеева.
• 9.3. Дайте определение функции распределения для дискретных и непрерывных физических величин.
• 9.4. Какие вы знаете свойства и возможности функции распределения? Опишите их.

с решением

9.1. Пользуясь таблицей Менделеева, найдем массу молекулы азота.

Решение

Один моль азота N₂ имеет массу М = 0,28 кг и содержит N_A = 6,02 • 10²³ молекул. Отсюда масса одной молекулы равна т = M/N_A = 4,7 • 10²⁶ кг.

Задачи для самостоятельного решения

• 9.2. Найдите среднеквадратичную скорость молекул кислорода в воздухе при нормальных условиях (н.у.).
• 9.3. Найдите отношение парциальных давлений молекул кислорода и азота в воздухе при н.у.