Проверка работоспособности и эффективности методов гомотопии

Тестирование разработанного программно-алгоритмического обеспечения проводилось при расчете системы двух взаимосвязанных колонн (рис. 5.15), предназначенных для разделения при атмосферном давлении трехкомпонентной смеси из толуола, бензола и о-ксилола.

Спецификации для четырех случаев, используемых для тестирования, приведены в табл. 5.2. Из таблицы видно, что:

• 1) отсутствуют данные по первой колонне (предфракционатор), которая содержит 20 ступеней разделения с подачей питания на 12-ю ступень сверху;
• 2) две различные конфигурации ступеней разделения используются во второй колонне (сепаратор), имеющей три выходных потока: 36 теоретических ступеней разделения (включая полный конденсатор и парциальный кипятильник) для случаев I и II и 32 ступени разделения для случаев III и IV.

Имеющиеся степени свободы распределяются созданием пяти вариантов исходной информации для расчета по особо важным параметрам технологического процесса. В первом случае данные спецификации исходной информации подобны тем, что преобладают в большинстве работ по расчету взаимосвязанных систем, приведенных в табл. 5.1, а именно:

1) флегмовое число (Л); 2) расход бокового продуктового потока (Л//³); 3) расход кубового продуктового потока (КО;

• 4) величина рециклового потока жидкости L из сепаратора в верхнюю часть первой колонны для использования в качестве флегмы и исключения конденсатора первой колонны;
• 5) величина рециклового потока пара V из сепаратора в куб первой колонны для использования его в качестве парового потока кипятильника первой колонны.

Соответственно «нестандартные» спецификационные уравнения для случая I, типичные для всех рассматриваемых случаев, запи;

Рис. 5.15. Система двух взаимосвязанных колонн разделения смеси толуолбензол — о- ксилол.

шутся в виде:

" Нестандартные" неизвестные в этом случае — S4, Sn, S46 и Q_r Результаты расчета для задачи I, приведенные в табл. 5.3, показывают, что спецификации адекватны составам продуктовых потоков, свойственным задаче II.

Для задачи II необходимо решить «стандартную» систему уравнений со следующими заданными величинами: L, V составов продуктовых потоков и пяти «нестандартных» спецификационных уравнений для флегмового числа R, S4, Sn, S46 и Q_r

Как и в случае II, случай III также содержит спецификации на составы продуктовых потоков. Отличием является замена величины парового потока V_y выходящего из первой колонны, на величину парового потока V, покидающего сепаратор.

Последний случай IV также сохраняет спецификации на состав продуктовых потоков, приведенных для случая IV, но помимо спецификаций взаимосвязанных потоков содержит спецификации на флегмовое число и величину кубового продуктового потока сепаратора.

Для исключения работы сепаратора без флегмы ниже 16-й ступени величина рециклового потока жидкости L должна быть меньше, чем 331,4. Поэтому любая величина L, меньшая 331,4, может быть использована в качестве начального приближения этого параметра. Подобная ситуация возникает и с величиной.

V.

Для успешного решения случая IV выбирались начальные приближения, являющиеся конечными в случае III. Эти начальные приближения для случая IVa есть L = 227 кмоль/ч и V' = 408,6 кмоль/ч (см. табл. 5.2). В случае IЬ была сделана попытка решить задачу с очень низкими величинами начальных приближений: L = 45,4 и V = 227. Как и в предыдущих случаях, метод Ньютона и предлагаемый алгоритм с использованием методов гомотопии решали эти задачи без затруднений.

Однако результаты для случая IVb не совпадают с результатами случая IVa. В частности, потоки пара и жидкости, переходящие в первую колонну и в две средние секции сепаратора, различны, как это показано в табл. 5.3. Таким образом, решение в случае IV не является единственным. Возможное объяснение этой ситуации заключается в том, что функция первой колонны подобна функции середины второй секции сепаратора, т. е. выделение ксилола из бензола и бензола из ксилола.

Суммарное количество жидкости в нижней секции 1-й колонны и в средней секции сепаратора приблизительно такое, как и для случаев IV д и IV6. То же справедливо и для суммарного количества пара (или жидкости) в нижней части 1-й колонны и в нижней части средней секции сепаратора.

В дальнейших исследованиях необходимо определить:

• 1) точное количество решений в случае IV;
• 2) область, в которой возможна множественность решений;
• 3) возможное существование множественности решений в других взаимосвязанных системах.

В случае IVc были выбраны завышенные значения начальных приближений для L и V'. Впервые использование метода Ньютона с линейным поиском потерпел неудачу, хотя были предприняты попытки поиска с небольшим шагом в ньютоновском направлении, даже в тех случаях, когда целевая функция не уменьшалась (не выходили за границы реальных физикохимических величин).

Разработанный алгоритм дает устойчивое решение (идентичное случаю IVa) после 22 шагов при большом размере шага, при очень незначительном понижении целевой функции.

Ранее было показано, что метод Ньютона с линейным поиском эквивалентен методу дифференциальной гомотопии и задача решается интегрированием по методу Эйлера, но без шага коррекции. Таким образом, метод Ньютона с линейным поиском можно представить с помощью полиномиальной аппрокси;

мации: если Лт минимизируется ||/{дг} - Дт [/*'{*} Г¹/МИ и т* =.

к

= ХДт^/ для к-й ньютоновской итерации, то т* = 1 — ехр (-т*) =.

/=1.

= 1 — А*, где х^к — величина, эквивалентная параметру гомотопии t.

К сожалению, трудно представить траекторию гомотопии в двухмерном пространстве, но однако плоскость ||/|| от t дает хорошее наглядное изображение сходимости алгоритмов.

На рис. 5.16 показаны траектории сходимости для всех случаев, приведенных в табл. 5.3, как для метода Ньютона с линейным поиском, так и для алгоритма с использованием методов гомотопии.

Алгоритмы гомотопии тщательно прослеживают траекторию гомотопии так, что она не может быть потеряна, а метод Нью ;

Рис. 5.16. Сходимость метода Ньютона и обобщенного алгоритма для четырех случаев разделения (табл. 5.2):

а — сходимость метода Ньютона для случаев I, И; Ь — то же самое для III, IVe; с — сходимость метода Ньютона (7) и обобщенного алгоритма (2) для случая ГУЛ; d — сходимость обобщенного алгоритма для случая IVc.

тона срезает углы, как этого требуют итерации, что не исключает потерю сходимости. Однако каждая итерация метода Ньютона значительно проще, следовательно необходимо стремиться решать задачи методом Ньютона. Когда же метод Ньютона сходится медленно или не работает (см. рис. 5.16, d), необходимо использовать методы дифференциальной гомотопии.