Динамика деформируемого твердого тела

МОДЕЛЬ УПРУГОГО ТЕЛА. ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГОГО ТЕЛА

Рассмотрим механическую систему (О, S (O), р), где О — односвязная область в ?³, 2(0) — кольцо измеримых по Лебегу подмножеств множества О, р — мера на 2(0), определяемая неотрицательной интегрируемой по Лебегу функцией р (г): О -" R* по формуле di=p®dx_xdx₂dx_y Функция р (г) называется плотностью тела и.

л

— масса вещества, приписываемая множеству А.

Движение механической системы.

определяется дифференцируемой по г функцией R (r, Г) — Дифференциал отображения (1.1) равен.

Рис 60 пий Коши—Грина.

где Х" х" /= 1, 2, 3, — соответственно координаты векторов R и г в инерциальной системе координат (рис. 60). Дифференциал (1.2) определяет отображение окрестности каждой точки тела при движении с точностью до малых первого порядка относительно величин dx, dx₂, dx_y 0.1.1. Оператор C=J^TJ называется тензором деформаций Коши—Грина.

0.1.2. Твердое тело называется деформируемым, если в процессе движения изменяются взаимные расстояния между его точками.

В предыдущих главах изучались абсолютно твердые тела, которые не деформировались ни при каких силовых воздействиях и движениях.

Изучим отображение (1.2) или, другими словами, деформацию элементарной частицы тела. Имеем где dr', dr" — векторы двух материальных точек элементарной частицы, под которой понимается достаточно малая окрестность некоторой точки тела. Оператор С — симметрический и положительно определенный, так как С^т = С, (Cdr, dr) = (dR, dR)>0 и согласно дополнительному предположению (Cdr, dr)? k (dr, dr), k> 0 для всех частиц тела. Обращение к в нуль означает, что при деформациях объем элементарной частицы обращается в нуль, что противоречит экспериментальным данным. Квадратичная форма (Cdr, <�Лг)приводится ортогональным преобразованием dr = Udt, Uе е 50(3) к каноническому виду.

Координатные оси Ох, Ох₂, Ох₃ инерциальной системы координат преобразуются оператором О" ¹ в оси 0?,_ь 0^₂, 06,₃ — главные оси деформации элементарной частицы. Величины А, Х₂, Х₃ называются главными удлинениями. В главных осях 0^₂?₃ деформация частицы есть растяжение—сжатие частицы в ₂, Х₃ раз по координатным осям.

Из соотношения (1.3) следует приводимость к каноническому виду билинейной формы, а именно.

Обозначим Kd% = dr и получим соотношение.

из которого следует сохранение скалярного произведения. Тогда существует ортогональный оператор Ки V (JU~') = /, где I — единичный оператор. Отсюда получаем представление /=.

В результате движение элементарной частицы можно представить в виде композиции четырех движений: поступательного движения, определяемого движением ее центра по закону R = R (r, /), поворота вокруг центра как твердого тела (оператор (/" '). деформации, т. е. растяжения—сжатия по трем взаимно ортогональным осям (оператор Л) и последующего поворота деформированной частицы вокруг центра как твердого тела (оператор И'¹).

0.1.3. Механическая система (сплошная среда) называется упругим телом, если потенциальная энергия деформаций каждой элементарной частицы есть функция главных удлинений X,. Х₂, Х₃. т. е.

Функция (1.4) называется удельной потенциальной энергией упругих деформаций и зависит, кроме главных удлинений, от выбранной частицы (вектор г) и от ее исходной ориентации (оператор 0(г) е 50(3)). Это означает, что свойства элементарной частицы могут изменяться от точки к точке упругого тела (свойство неоднородности) и могут различаться в зависимости от направления деформации (свойство неизотропности). Например, упругие свойства деревянного бруска зависят от места и ориентации волокон древесины. Изменение формы элементарной частицы (она из сферы превращается в трехосный эллипсоид) происходит под действием сил, и работа сил, вызывающих деформацию, равна потенциальной энергии упругих деформаций.

Если упругая среда однородна и изотропна, то удельная потенциальная энергия деформаций любой ее частицы зависит только от главных удлинений частицы, т. е е-е (X, Х₂, Х₃).

0.1.4. Тензор Е= ½(С- /) называется тензором конечных деформаций, а величины е,= ½(- 1), /= 1. 2, 3, — главными деформациями.

Если положить R = r+ u (r. f)(u (r. t) — вектор перемещений), то найдем.

Главные деформации e_|t е₂, е₃ являются корнями характеристического уравнения.

Величины I_?, Н_?, Ш_? называются инвариантами тензора конечных деформаций и связаны с главными деформациями соотношениями.

В теории упругости выбирают в качестве аргументов удельной потенциальной энергии деформаций инварианты тензора конечных деформаций, так как в недеформированном естественном состоянии, когда u (r, t) s 0, эти инварианты равны нулю. Потенциальная энергия упругого однородного изотропного тела представляется функционалом.