Интегральные преобразования уравнений матфизики

Содержание Введение

1. Интеграл Фурье

1.1 Основные понятия интеграла Фурье

1.2 Действительная и комплексная формы интеграла Фурье

1.3 Преобразование Фурье

2. Преобразование Лапласа

2.1 Оригинал, изображение и операция над ними

2.2 Основные свойства преобразования Лапласа

2.3 Обратное преобразование Лапласа

3. Применение интегральных преобразований при интегрировании уравнений математической физики

3.1 Применение интегрального преобразования Фурье

3.2 Применение интегрального преобразование Лапласа Заключение Список использованных источников Приложение

Введение

интеграл физика фурье лаплас Многие задачи механики, физики, широкий круг инженерно-технических задач приводят к интегральным преобразованиям.

Преобразование Фурье используется во многих областях науки — в физике, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, теории вероятностей, статистике, криптографии, акустике, океанологии, оптике, геометрии и многих других. В обработке сигналов и связанных областях преобразование Фурье обычно рассматривается как декомпозиция сигнала на частоты и амплитуды, то есть обратимый переход от временного пространства в частотное пространство.

Богатые возможности применения основываются на нескольких полезных свойствах преобразования:

— преобразования являются линейными операторами и, с соответствующей нормализацией, унитарными (свойство, известное как теорема Парсеваля, или, в более общем случае, как теорема Планшереля, или, в наиболее общем, как дуализм Понтрягина);

— преобразования обратимы, причём обратное преобразование имеет практически такую же форму, как и прямое преобразование;

— по теореме о свёртке, преобразование Фурье превращает сложную операцию свёртки в простое умножение, что означает, что они обеспечивают эффективный способ вычисления основанных на свёртке операций, таких как умножение многочленов и умножение больших чисел.

Преобразование Лапласа — интегральное преобразование, связывающее функцию F (р)комплексного переменного (изображение) с функцией f (x) действительного переменного (оригинала). С его помощью исследуются свойства динамических систем и решаются дифференциальные и интегральные уравнения.

Применение этого метода позволяет решать дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, а также интегро-дифференциальные уравнения типа свёртки.

Одной из особенностей преобразования Лапласа, которые предопределили его широкое распространение в научных и инженерных расчётах, является то, что многим соотношениям и операциям над оригиналами соответствуют более простые соотношения над их изображениями.

Актуальность. Класс дифференциальных уравнений в частных производных, решения которых могут быть выписаны в элементарных функциях, весьма узок. Для решения различных физических и технических проблем широко применяются аналитические методы исследования, в частности, методы интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих тот или иной процесс, Интегральные преобразования занимают весьма важное место в арсенале современных методов решения задач математической физики.

Целью работы является исследовать понятия математической физики тесно связанные с интегралом и преобразованием Фурье, преобразования Лапласа, ознакомит интегральными преобразованиями и их применение при интегрировании уравнений математической физики.

Задачи.

· Исследование преобразование Фурье

· Исследование преобразование Лапласа

· Использование свойств Лапласа на практике

· Показать применение интегральных преобразований при интегрировании уравнения математической физики Новизна. Интегральные преобразования позволяют найти решения целого ряда задач математической физики, а также упрощенные, приближенные соотношения основных параметров в форме удобной как для аналитических исследований, так и для выбора методов численного анализа. Провести аналитический метод решения интегральных преобразований и их применение при интегрировании уравнений математической физики.

Объект исследования. На конкретной практической задаче произвести оценку его эффективности и актуальности, анализ практической и теоретической значимости полученных результатов.

Предмет исследования. Интегральные преобразования и их применение при интегрировании уравнений математической физики.

Практическая значимость состоит в том, на основании проведенных исследований разработана методические рекомендаций об применении интегральных преобразований при интегрировании уравнений математической физики.

1. Интеграл Фурье

1.1Основные понятия интеграла Фурье Рассмотрим ряд Фурье периодической функции с периодом Т=2р

(1)

В формуле (1) выразим cosnx и sinnx через показательные функции по известным формулам:

Итак,

Подставляя эти значения в формулу (1) и производя соответствующие преобразования, получим:

(2)

Вводим следующие обозначения:

, , (3)

Тогда формула (2) примет следующий вид:

или

(4)

Формула (4) есть комплексная форма ряда Фурье.

В полученной формуле выразим коэффициенты и через интегралы на основании формулы (3), тогда

Итак,

(5)

аналогично,

(6)

и называется комплексными коэффициентами Фурье для функции f (x).

Если функция f (x) периодическая с периодом T=2l, то ряд Фурье будет

. (7)

А ряд Фурье в комплексной форме выражается формулой:

(8)

где вычисляется формулой:

(9)

В формуле (8) выражение называются гармониками,

Числа волновыми числами функции f (x).

Совокупность волновых чисел называют спектром. Если откладывать эти числа на числовой оси, то получим совокупность отдельных точек.

Совокупность точек называют дискретным, а соответствующий спектр — дискретным.

Коэффициенты определяются формулой (9) называют комплексной амплитудой.

В электротехнике и радиотехнике совокупность модулей амплитуд называют спектром функции f (x).

При изучении рядов Фурье речь шла о представлении действительных периодических функций, определенных на всей числовой прямой (или на отрезке), тригонометрическим рядом вида:

где — константа, обратно пропорциональная длине отрезка разложения.

В этой главе изучается интеграл Фурье, который можно считать обобщением ряда Фурье на случай периодической действительной функции, определенной на всей числовой прямой, при котором операция суммирования по дискретному параметру заменяется операцией интегрирования по непрерывному параметру .

Интеграл Фурье, впервые введенный в 1822 году Жан Батист Жозеф Фурье в книге «Аналитическая теория тепла» для решения некоторых задач математической физики, в настоящее время широко используется в прикладной математике.

Пусть функция f (x) определена на бесконечном промежутке и абсолютно интегрируема на нем и пусть функция f (x) разлагается в любом интервале в ряд Фурье. Тогда имеет место разложение функции f (x) в ряд Фурье любого периода

(10)

где

(11)

Подставляя (11) в формулу (10), получим

(12)

вводим следующие обозначения:

, ,…, ,

Тогда (12) примет вид:

(13)

В формуле (13) переходя к пределу при, получим

(14)

Это и есть интеграл Фурье для функции f (x).

1.2 Действительная и комплексная формы интеграла Фурье Рассмотрим интеграл Фурье функции f (x)то есть формулу (14).

Равенство (14) имеет место для всех точек, где функция непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство

(14^Ч)

Преобразуем интеграл, стоящий в правой части равенства (14), раскрывая :

Подставляя это выражение в формулу (14) и вынося и за знаки интегралов, где интегрирование совершается по переменной t, получим

(15)

Каждый из интегралов по t, стоящий в скобках, существует, так как функция f (x) абсолютно интегрируема в интервале, а следовательно абсолютно интегрируемы и функции и .

Рассмотрим частные случаи формулы (15)

1. Пусть f (x) — четная функция то есть f (-x) = f (x).

В этом случае — функция четная, а — нечетная и получим

Формула (15) в этом случае примет вид:

(16)

2. Пусть f (x) — нечетная функция то есть f (-x) = -f (x).

В этом случае — функция нечетная, а — четная и получим

Формула (15) в этом случае примет вид:

(17)

В интеграле Фурье (14) в скобках стоит четная функция от, следовательно, она определена и при отрицательных значениях .

На основании сказанного формулу (14) можно переписать так:

(18)

Рассмотрим, далее выражение, тождественно равное нулю:

Выражение, стоящее слева, тождественно равна нулю потому, что функция от, стоящая в скобках, есть нечетная функция, а интеграл от нечетной функции в пределах от — М до +М равен нулю.

Очевидно, что

(19)

Умножим члены равенства (19) на и сложим с соответствующими частями равенства (18), тогда получим:

(20)

Правая часть в формуле (20) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f (x).

Перепишем формулу (20) так:

(21)

(22)

В формуле (22) называется волновым числом, спектр волновых чисел называют непрерывным спектром.

Функцию называют спектральной плоскостью или спектральной функцией.

1.3 Преобразование Фурье В математике и ее приложениях широкое распространение получил метод замены изучаемой функции f (x) некоторым ее преобразованием. Наиболее часто применяются интегральные преобразования.

Пусть функция f (x) определена на (a, b) (в частности, a или b могут быть и). Интегральным преобразованием функции f (x) называется функция F (u), определяемая равенством

где K (x, u) — некоторая фиксированная функция, называемая ядром интегрального преобразования. В этом пункте мы познакомимся с тремя интегральными преобразованиями, которые связаны с представлением функции ее интегралом Фурье и имеют широкое применение в электротехнике и радиотехнике.

Если функция f (x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси и удовлетворяет условиям Дирихле на любом конечном промежутке, то она представима своим интегралом Фурье, то есть в точках непрерывности функции f (x) имеет место равенство

(23)

.

Подставляя выражение для в интеграл Фурье, получим

.

Обозначим

(24)

(25)

Функция называется преобразованием Фурье или образом Фурье функции f (x), а формула (25) — обратным преобразованием Фурье (формула (24) позволяет найти образ Фурье известной функции f (x), а по формуле (25) можно восстановить f (x) по ее образу Фурье).

Замечание. Функцию называют также спектральной функцией или спектральной плоскостью функции f (x).

Если функция f (x) задана на промежутке и абсолютно интегрируема на нем, то ее можно представить интегралом Фурье, предварительно доопределив функцию на всю числовую ось четным или нечетным образом. В этом случае во всех точках непрерывности функции f (x) будут иметь место равенства

.

Подставляя выражение для и в интеграл Фурье, получим

.

Обозначим

.

(26)

(27)

Функции и называются соответственно косинус — преобразованием Фурье и синус — преобразованием Фурье функции f (x), а формулы (26) и (27) — обратным косинус — преобразованием Фурье то есть обратным синус — преобразование Фурье соответственно.

2. Преобразование Лапласа

2.1 Оригинал, изображение и операция над ними Определение. Функцией — оригиналом называется любая комплекснозначная функция f (t) действительного аргумента t, удовлетворяющая условиям:

1⁰ f (t) интегрируема на любом конечном интервале оси t;

2⁰ для всех отрицательных t: f (t)=0;

3⁰ f (t) возрастает не быстрее показательной функции, то есть существуют такие постоянные и, что для всех t имеет место равенство

. (28)

Например, показать, что функция является функцией оригиналом.

В самом деле, функция f (t) локально интегрируема, то есть

.

Условие 2⁰ также выполнимо.

Условие 3⁰: .

Простейшей функцией — оригиналом является так называемая единичная функция Хевисайда

(29)

Функция Хевисайда (единичная ступенчатая функция, функция единичного скачка, включенная единица) — кусочно-постоянная функция, равная нулю для отрицательных значений аргумента и единицы — для положительных. В нуле эта функция, вообще говоря, не определена, однако её обычно доопределяют в этой точке некоторым числом, чтобы область определения функции содержала все точки действительной оси. Чаще всего неважно, какое значение функция принимает в нуле, поэтому могут использоваться различные определения функции Хевисайда, удобные по тем или иным соображениям, например:

Функция Хевисайда широко используется в математическом аппарате теории управления и теории обработки сигналов для представления сигналов, переходящих в определённый момент времени из одного состояния в другое. В математической статистике эта функция применяется, например, для записи эмпирической функции распределения. Названа в честь Оливера Хевисайда.

Определение. Изображением функции f (t) по Лапласу называется функция F (p) комплексного переменного, определенная равенством

(30)

Если F (p) есть изображение функции f (t), то пишут так:

(31)

Найти F (p) для:

1. .

2.

Отсюда

.

.

Аналогично

3. .

4.

2.2 Основные свойства преобразования Лапласа

1⁰. Свойство линейности.

Для любых комплексных постоянных и

(32)

2⁰. Теорема подобия.

Находим изображение функции f (at), где a >0

Например,

Аналогично,

3⁰. Дифференцирование оригинала.

Если функции является функциями — оригиналами и, то Докажем, что .

В самом деле,

Аналогично доказывается для остальных производных.

4⁰. Дифференцирование изображения.

Дифференцирование изображения сводится к умножению на (- t) оригинала

.

2.3 Обратное преобразование Лапласа Для восстановления оригинала f (t) по заданному изображению F (p) в простейших случаях используется таблица изображений (смотрите таблицу 1). Дополнительное применение свойств изображений позволяет существенно расширить возможности восстановления оригинала по заданному изображению.

Теорема (Римана-Меллина). Пусть функция f (t) оригинал с показателем роста, а F (p) — ее изображение. Тогда в любой точке t непрерывность оригинала f (t) справедлива формула Римана-Меллина является обратной к формуле и называется обратным преобразованием Лапласа.

(33)

В точке являющиеся точкой разрыва 1-го рода функции f (t), правая часть формулы Римана-Меллина равна

(34)

Непосредственное применение формулы обращения для восстановления оригинала f (t) по изображению F (p) затруднительно. Для нахождения оригинала обычно пользуются теоремами разложения.

Теорема (первая теорема разложения). Если функция F (p) в окрестности точки может быть представлена в виде ряда Лорана

то функция, является оригиналом, имеющим изображение F (p):

(35)

Вторую теорему разложения можно сформулировать следующим образом.

Теорема (вторая теорема разложения). Если рациональная правильная несократимая дробь, простые или кратные нули знаменателя Q (p), то оригинал f (t), соответствующий изображению F (p), определяется формулой

(36)

В частности, если знаменатель простые полюса, то функция

(37)

является оригиналом, имеющим изображение F (p).

Теорема. Пусть F (p) — функция комплексной переменной p, обладающая свойствами:

1) функция F (p), первоначально заданная в полуплоскости и удовлетворяющая в ней условиям:

а) F (p) — аналитическая функция в полуплоскости ;

б) в области функция F (p) стремится к нулю при равномерно относительно ;

в) для всех, сходится несобственный интеграл ;

г) может быть аналитически продолжена на всю комплексную плоскость .

2) аналитическое продолжение функции F (p) в полуплоскости удовлетворяет условиям леммы Жордана.

Тогда имеет место следующее соотношение:

(38)

где t >0 и особые точки (полюсы, существенно особые точки) функции, являющейся аналитическим продолжением F (p) в полуплоскость, .

Пусть функция f (t) является оригиналом с показателем роста и имеет конечное число экстремумов. Тогда для нее можно записать интеграл Фурье. При этом имеет место формула:

.

Учитывая, что в интеграле Лапласа параметр, , и для сходимости интеграла выбирается, то можно записать:

(39)

Сравнивая полученный интеграл Лапласа с преобразованием Фурье, видно, что изображение есть прямое преобразование Фурье для функции .

3. Интегральные преобразования для уравнений математической физики в примерах и задачах

3.1 Применение интегрального преобразования Фурье Методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, не применяющие технику интегральных преобразований, не всегда делают возможным проведение численного анализа необходимого для практического использования полученных результатов. Интегральные преобразования позволяют найти решения целого ряда задач математической физики, а также упрощенные, приближенные соотношения основных параметров в форме удобной как для аналитических исследований, так и для выбора методов численного анализа.

Интегральным преобразованием (образом, трансформантой, изображением) функции f (x) считают функцию

(40)

причем f (t) называют оригиналом своего образа F (z). Здесь K (z, x) -ядро интегрального преобразования, известная функция переменных z и x.

При этом если в выражении (40) считать известной функцию F (z), а неизвестной f (t), то при определенных условиях можно представить решение интегрального уравнения (40) в следующей форме:

(41)

Формула (41) описывает при этом обратное преобразование (обращение) интегрального преобразования (40).

Применение интегрального преобразования во многих случаях позволяет свести решение дифференциального уравнения в частных производных с n независимыми переменными к решению уравнения с n-1 независимыми переменными, что облегчает решение рассматриваемой задачи. Последовательное применение интегральных преобразований может иногда свести задачу к решению обыкновенного дифференциального уравнения, теория которого хорошо разработана.

Интегральное преобразование над некоторым классом функций f (t) определяется выбором ядра K (z, x) и промежутка интегрирования (a, b). Будем рассматривать следующие преобразования:

одностороннее преобразование Лапласа

(42)

синуси косинус-преобразование Фурье

, (43)

комплексное преобразование Фурье

(44)

Преобразование Фурье играет важную роль при решении широкого класса задач математической физики, к которым относится, например, краевые задачи для уравнения математической физики.

Если функция f (х) определена всюду при и, то существует комплексное преобразование Фурье функции f (х), описываемое формулой (44). Функция f (х), интегрируема на бесконечном интервале, при этом обладает свойствами:

а) имеет конечное число экстремумов;

б) непрерывна всюду, кроме, быть может, конечного числа точек разрыва первого рода;

в) интеграл сходится абсолютно.

Тогда формула обращения преобразования Фурье имеет вид:

(45)

Во многих приложениях теории преобразования Фурье к задачам математической физики используется следующее свойство преобразования Фурье, которое не трудно получить путем интегрирования по частям:

(46)

Рассмотрим преобразование Фурье разрывных функций. Пусть при и имеет в точке разрыв первого рода (рисунок 1).

В соответствии с (44) преобразование Фурье функции f (х)

.

Найдем преобразование Фурье от производной Обозначив скачки функции f (х) и ее производных в точке через, формулу (46) можно переписать в виде

.

В приложениях при решении конкретных задач для уравнений с частными производными удобно пользоваться преобразованием Фурье, так как выполнение условий, гарантирующих существования обратного преобразования Фурье, во многих случаях является естественным. При этом полезную роль играет понятие свертки.

Сверткой функций f (х) и g (х), заданных на интервале, называется интеграл вида, то есть

(47)

Комбинация функций (47) встречается столь часто, что ее можно считать одной из основных операций анализа.

Когда существует преобразование Фурье функций f (х) и g (х) и соответствующие обратные преобразования, свертке можно придать вид:

(48)

Действительно, подставляя в правую часть формулы (47) представление в виде обратного преобразования Фурье в соответствии с (45), будем иметь, откуда, считая допустимой перестановку порядка интегрирования, находим

.

Заменяя в правой части равенства второй интеграл через, согласно (44), получаем формулу (48).

Рассмотрим задачу Коши для однородной бесконечной струны. Будем считать, что струна совершает малые поперечные колебания при отсутствии внешних сил

, , (49)

, (50)

Применим к уравнению и начальным условиям преобразование Фурье по переменной х .

Воспользовавшись свойством (46), будем иметь .

Тогда уравнение (49) примет вид

(51)

Начальные условия при этом запишутся следующим образом:

(52)

.

Таким образом, применение интегрального преобразования к дифференциальному уравнению в частных производных временно включает одну из независимых переменных. В данном случае приходим к необходимости решения обыкновенного дифференциального уравнения. Решение уравнения (51) может быть записано в виде, где, вообще говоря,. Используя начальные условия (52), получим систему для определения неизвестных Тогда, и, следовательно,

(53)

Чтобы найти решение исходной задачи, необходимо применить к (53) обратное преобразование Фурье.

.

, то

.

Нетрудно также убедиться, что

.

Отсюда следует

.

Таким образом, получим решение исходной задачи. Нам известно, что эта формула называется формулой Даламбера.

Пример 1. Пусть в бесконечной среде распространяется тепло. Известно начальное распределение температуры f (х). Источники тепла отсутствуют. Найти распределение температуры в произвольный момент времени.

Решение. Записываем уравнение теплопроводности, ,, с начальным условием. На бесконечности должны выполнятся условия, при .

Применяем преобразование Фурье (51) к уравнению. Учитывая условия на бесконечности, получаем

(54)

где образ Фурье функции. Преобразование начального условия приводит к соотношению; образ Фурье функции f (х). общее решение уравнения (54) с учетом преобразованного начального условия имеет вид

(55)

Находим, применив к (55) обратное преобразование:

(56)

Для вычисления (56) воспользуемся интегралом. Тогда и по теореме свертки находим

.

записываем окончательно решение задачи

.

Пример 2. Решить уравнение теплопроводности, ,, удовлетворяющее следующим начальным и граничным условиям:

при .

Решение. Поскольку задача рассматривается на полуограниченной прямой с краевым условием, применяем синус-преобразование Фурье (43). После преобразования с учетом граничного условия получаем обыкновенное дифференциальное уравнение Если частное решение, удовлетворяющее преобразованным начальному и граничным условиям, описывается функцией

(57)

Применяем к (57) обратное синус-преобразование Фурье:

Для дальнейшего упрощения результата воспользуемся известным интегралом и окончательно записываем решение

Задачи для самостоятельного решения

1., ,

.

2., ,

.

3., ,

.

3.2 Применение интегрального преобразования Лапласа Пусть имеется линейное дифференциальное уравнение в частных производных относительно неизвестной функции. Если применить преобразование Лапласа к переменной t, то получится обыкновенное дифференциальное уравнение на образ функции. Затем на общее решение полученного уравнения накладываются граничные условия исходной задачи. Наконец, искомое решение находится обратным преобразованием Лапласа. Применение преобразования Лапласа удобно при решении краевых задач в ограниченной области.

Пример 1. Между двумя точками (0,0) и (L, 0) натянута струна. Колебания ее вызваны тем, что струне была придана форма синусоиды, и из этого состояния в момент t=0 струну отпустили. Найдите смещение точек струны во времени.

Решение. Записываем уравнение струны, и условия. После преобразования Лапласа с учетом начальных условий получим обыкновенное дифференциальное уравнение

.

Его общее решение при заданных граничных условиях приводится к частному решению:

.

Применяя обратное преобразование Лапласа, записываем решение задачи:

.

Пример 2. Рассмотрим неоднородное волновое уравнение

, ,

с дополнительными условиями

,

ограничена при .

Применяем преобразование Лапласа с использованием начальных условий:

.

Находим общее решение

.

Из условия ограниченности решения при находим, а из условия — постоянную, в результате чего получаем частное решение

.

Применяя обратное преобразование Лапласа, находим решение задачи

.

где функция Хевисайда.

Пример 3. Найдем решение уравнения теплопроводности:

, ,

С начальными граничными условиями

, .

Решение. Применение преобразования Лапласа с использованием начального условия приводит к новому уравнению, общее решение которого можно записать в виде

(58)

с граничными условиями, , где образ функции, образ функции. С учетом этих граничных условий находим частное решение (58):

.

Применяем обратное преобразование Лапласа:

.

Вычисляем интеграл с помощью вычетов. Полюсы подынтегральной функции определяются из уравнения и равны, .

Вычет в точке равен нулю, а в точке он равен:

.

Предполагая, что функция такова, что интеграл по полуокружности бесконечно большого радиуса, замыкающей в полуплоскости контур интегрирования, стремится к нулю, по теореме о вычетах получаем:

,

и, следовательно, решение задачи будет иметь вид:

.

Пример 4. Найти оригинал по изображению .

Решение. Найдем оригинал непосредственно с помощью свойств преобразования Лапласа и таблицы изображений. Поскольку

,

то на основании формулы Дюамеля имеем

.

Пример 5. Найти оригинал по изображению .

Решение. Из таблицы изображений имеем .

Используя свойство линейности и интегрирования оригинала, находим:

.

Пример 6. Найти оригинал по изображению .

Решение. Функция является аналитической в точке имеет вид:

Следовательно, по первой теореме разложения при имеем

.

Пример 7. Найти оригинал, соответствующий изображению

.

Решение. Представим F (p) в виде суммы элементарных дробей:

Находим коэффициенты:

.

Тогда по второй разложения найдем оригинал:

Пример 8. Найти оригинала по изображению .

Решение. Функция F (p) правильная рациональная несократимая дробь, для которой точки является простыми полюсами. Так как

— для

;

— для

;

— для

то по второй теореме разложения получим:

.

Пример 9. Найти оригинал по изображению .

Решение. Функция F (p) в точках и имеет полюсы второго порядка.

Следовательно, во второй теореме разложения находим:

Пример 10. Найти оригинал по изображению .

Решение. Аналитическим продолжением функции F (p) в левую полуплоскость является функция, удовлетворяющая условиям леммы Жордана и имеющая две особые точки — полюсы первого порядка и .

Поэтому при и по теореме 4 имеем:

.

Задачи для самостоятельного решения

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. .

Заключение

Проанализировав данную тему можно сделать вывод, что интегральные преобразования являются мощным средством решения уравнений математической физики. Эти преобразования позволяют во многих случаях свести уравнения в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению или в общей ситуации уменьшить в уравнении число переменных, по которым берутся частные производные.

Преобразование Фурье естественно возникает во многих задачах теоретического и прикладного характера. Вездесущность преобразования Фурье будет в дальнейшем продемонстрирована его применимостью к построению эффективных алгоритмов. Во многих приложениях бывает удобно преобразовать данную задачу в другую, более легкую. Благодаря широкому применению метода Фурье и сходных с ним аналитических можно повторить с полным основанием то, что лорд Кельвин сказал в 1867 году: «Теорема Фурье не только является одним из самых изящных результатов современного анализа, но и даёт нам незаменимый инструмент в исследовании самых трудных вопросов современной физики».

Применение методов, использующих преобразование Лапласа нашло широкое применение в решении различных задач электротехники, гидродинамики, механики, теплопроводности, радиотехники, а также и ряда других областей науки и техники, потому что оно позволяет минимизировать и упростить вычисления сложных задач дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, интегро-дифференциальные уравнений типа свёртки.

С этой целью каждый раздел моей работы построен следующим образом:

В первом разделе, который называется интеграл Фурье, в дипломной работы рассматривается основные понятия интеграла Фурье, действительная и комплексная формы интеграла Фурье, преобразование Фурье.

Второй раздел называется преобразование Лапласа, в этом разделе также рассматриваются оригинал, изображение и операции над ними, основные свойства преобразования Лапласа, обратное преобразование Лапласа.

Третьем разделе дипломной работы, который называется интегральные преобразования для уравнений математической физики в примерах и задачах приведены постановка задачи для каждого типа, алгоритм решения задач, а также примеры с решениями и задачи для самостоятельного решения

Список использованных источников

1. Бабич В. М, Капилеев М. Б., Михлин С. Г. Линейные уравнения математической физики. — Москва: Наука, 1964. — 584 с.

2. Пискунов Н. С Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов (том второй). — Москва: Наука, 1966. — 512 с.

3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения Математической физики.- Москва: Наука, 1972. 734 с.

4. Титчмаш Э. Ч.

Введение

в теорию интегралов Фурье.- Ленинград: ОГИЗ, 1948. 409 с.

5. Семенчук Н. П., Сендер Н. Н. Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье. — учебно-методическое пособие Брест: БрГУ, 2011. 42 с.

6. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — 5 изд., Москва: Просвещение, 1988. 216 с.

7. Владимиров В. С. Обобщенные функции в математической физики.- 2 изд., Москва: Просвещение, 1979. 147 с.

8. Годунов С. К., Залотарева Е. В. Сборник задач по уравнениям математической физики.- Новосибирск: Наука, 1974. 544 с.

9. Зорич В. А. Математический анализ.- Москва: Физматлит, 1984. 14 с.

10. Михлин С. Г. Курс математической физики.- Москва: Наука, 1968. 74 с.

11. Очан Ю. С. Методы математической физики. — Москва: Высшая школа, 1965. 35 с.

12. Хёрмандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными.- Москва: Наука, 1986. — 406 с.

13. Араманович И. Г. Функции комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости.- Москва: Просвещение, 1968. 228 с.

14. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения.- Москва: ГФМЛ, 1963. 600 с.

15. Лере Ж. Обобщенное преобразование Лапласа.- Москва: Мир, 1969. 111 с.

16. Араманович И. Г., Левин В. И. Уравнения математической физики.- Москва: Наука, 1969. 55 с.

17. Злотарев И. Д. Применение метода, упрощающего обратное преобразование Лапласа при исследовании динамики колебательных систем.- Омск: ОмГУ, 2004. 99 с.

18. Владимирова В. С. Сборник задач по уравнениям математической физики. — М., Наука, 2003 — 415с.

19. Фарлоу С. Уравнения с частными производными. — М., Наука, 1977 — 386с.

20. Шарма Д. Н., Сингх К. Уравнение в частных производных для инженеров. — М., Наука, 2002;108с.

Приложение А.

Таблица 1. Таблица изображений