Интерполяционный полином в форме Лагранжа

Идея этого классического метода состоит в том, что значение интерполяционного полинома в каждой точке х определяется как линейная комбинация значений функции в узлах х:

Принимая во внимание условие (2.8), приходим к условию.

Функция С_к (х) в узлах должна равняться единице, а в других точках интерполяции — нулю. Отсюда можно предположить ее следующий вид:

где Х_к — нормировочный коэффициент. Теперь очевидно, что возможен следующий вид интерполяционного полинома, получившего название интерполяционный полином в форме Лежандра:

На практике чаще всего используют интерполяционные полиномы низких порядков. Так, для п = 2 получают интерполяционный полином в форме Лагранжа, который имеет следующий явный вид:

Пример 2.4.

Задана таблица значений функции у = 1пх [4]:

Вычислить значение 1п1,23.

Решение. Для решения задачи выберем узлы х_г = 1,1, х₂ =1,2, х₃ = 1. Вычисляя по формуле (2.10), получим 1п1,23 = 12(1,23) = 0,207 066.

Интерполяционные полиномы в форме Лежандра являются одним из самых простых инструментов при решении задач интерполяции. Разработан и целый ряд других форм интерполяционных полиномов, имеющих те или иные преимущества, например интерполяционные полиномы в форме Ньютона. Одна из таких форм (с интерполяцией вперед) имеет следующий вид:

где х₍ = х₀ + i • h, i = 0,1,…, п; ;h — шаг; Д^ку₀ = ДСД^у,) =.

= A (A (A^fc«²y₀))… — конечные разности разных порядков.

Для интерполяционных полиномов в форме Ньютона по сравнению с формой Лежандра характерна достаточно простая оценка погрешности.

и возможность наращивать формулу при увеличении числа узлов, не пересчитывая все компоненты полинома.