Вычисление значений функции

Одной из основных задач, которую приходится решать специалистам при решении профессиональных задач, а также в повседневной жизни, является задача вычисления значений функции.

В данной записи предполагается, что для каждого числа х, взятого из промежутка (а; Ь), по закону /поставлено в соответствие единственное число у. Например, рассмотрим функцию у = 1пх. Возможные значения аргумента х — положительные числа. Однако в одних случаях может быть найдено точное значение функции, а в других — только приближенные. Например, если х = 1, то у = 0, если же х = 2, то у = 0,69 314 718… — иррациональное число! Таким образом, при вычислении функции может присутствовать ошибка. Каковы причины ее появления?

Основные из них две. Во-первых, вычисление функции всегда сводится к выполнению некоторой последовательности арифметических операций. Выполнение некоторых из них может служить источником ошибок, например необходимость округления результатов некоторых операций. Другая группа причин заключается в принципиальной невозможности точного выполнения вычислений, например когда их бесконечное количество. Здесь следует отметить, что при вычислении значений эквивалентных с математической точки зрения выражений могут возникнуть различные вычислительные трудности. Наиболее часто такая ситуация возникает при преобразовании рассматриваемой функции к виду, более удобному для применения вычислительной техники.

Таким образом, имеет место проблема приближенного вычисления функций. Для ее разрешения разработано много методов вычисления, каждый из которых имеет свои особенности и более или менее предпочтителен для каждой конкретной функции.

Так, широко используется метод разложения функции в степенной ряд. Идея метода проста: если известно, что функция разложима в сходящийся степенной ряд (функция аналитическая).

то отрезок ряда дает приближение этой функции, т. е.

Иначе говоря, получим приближенное значение функции, если вычислим сумму некоторого числа первых членов соответствующего ряда. При практической реализации такого подхода может возникать ряд трудностей (например, ограничена область сходимости ряда, сложно вычислять коэффициенты ряда, для различных значений аргумента резко различна скорость сходимости ряда и т. п.). Поэтому для каждого типа функций целесообразно применять различные искусственные приемы, повышающие эффективность вычислительного процесса (см., например, работу [5]). Для примера рассмотрим возможную схему вычисления показательной функции у = е^х. Известно, что экспонента разлагается в ряд.

сходящийся на всей числовой оси. Однако для больших значений х непосредственное вычисление суммы первых членов ряда малоэффективно (ряд сходится медленно, и требуется вычисление большого числа п членов ряда). Целесообразно поступить, например, следующим образом. Представим число х в виде суммы.

где Е (х) — целая часть числа х и 0 < q < 1. Тогда заданная функция может быть записана так:

Первый сомножитель есть простое произведение чисел е (которые известны с огромной точностью, е = 2,71 828 182 845 904…) ровно ?(х) раз. Второй сомножитель вычисляется как сумма небольшого числа членов ряда, поскольку на отрезке [0; 1] рассматриваемый ряд сходится очень быстро.

Представляет особый интерес применение метода итераций. Пусть рассматриваемая зависимость у = Дх) задана в неявной форме.

Напомним, что каждая функция может быть представлено в неявной форме бесконечным числом способов. Так, если ,.

то, например, или

Если F (x, y) имеет непрерывную по у производную, не равную нулю, то, применяя к уравнению (2.23) при фиксированном х теорему Лагранжа, имеем.

где с — некоторое неизвестное число, находящееся между переменной у и фиксированной величиной у,.

Это выражение можно разрешить относительно у:

Заменив с на «близкое» к немуу" (поскольку у < с <�у"), получаем известную итерационную формулу.

Для начала процесса вычисления по этой формуле выбирают начальное (вообще говоря, произвольное) значение у₀. Подставляя его в формулу (2.24), получаюту_х. Найденное у_а вновь подставляют в (2.24) и находят уже у₂. Процесс продолжают до тех пор, пока искомое приближенное значение функции вида (2.22) не будет найдено с необходимой точностью. Критерием остановки итерационного процесса обычно выбирают наступление события

Это условие, вообще говоря, не гарантирует того, что найденное у_п отличается от искомого у меньше, чем на е. Однако если процесс (2.24) сходится, то при достаточно большом числе итераций у может быть найден со сколь угодно большой точностью.

Геометрическая интерпретация формулы (2.24) может быть следующей. Рассмотрим график функции z = F (x, у) в зависимости от у (величина переменной х фиксирована). Тогда в соответствии с формулой (2.23), требуется определить точку пересечения линии графика этой функции с осью абсцисс. Как ясно из рис. 2.6, итерационный процесс (2.24) является реализацией метода Ньютона: на каждом шаге кривая заменяется касательной, точка пересечения которой с осью абсцисс и дает очередное приближенное значение функции.

Рис. 2.6. Итерационный процесс вычисления функции.

Пример 2.7.

Вычислить значения величины у = 1/х в точке х = 0,035 с точностью до 10~³.

Решение. Особенности этой, казалось бы, простейшей задачи проявляются при малых значениях х, поскольку деление на малые величины приводит к существенным ошибкам.

Запишем заданную функцию в неявной форме:

Поскольку производная по у имеет вид

то формула (2.24) для данного случая запишется в следующем виде:

Важно отметить, что в итерационной формуле (2.25) уже нет действия деления. Вычислим обратное значение величины 0,035. Пусть у₀ = 10. Тогда, следуя формуле (2.25), последовательно получим:

Для большого числа функций разработаны эффективные алгоритмы и процедуры вычислений, которые, как правило, зашиты в память компьютеров или представлены в виде готовых процедур в пакетах программ, что обеспечивает удобное их использование любым пользователем.