Неявные схемы. 
Понятие о жестких системах

Рассмотрим следующую разностную схему для численного решения уравнения (3.14) при условии, что вычислено значение функции и в точке х_п. Имеем.

где s — параметр разностной схемы такой, что 0 < х < 1. Говорят, что разностная схема является явной, если правая часть дифференциального уравнения записывается в известной точке (х_п, и_п). Схема называется неявной, если правая часть дифференциального уравнения записывается в неизвестной точке (х_{п r} j, и_{п +} j). Схема называется полуявной (полунеявной), если правая часть с определенными весами записывается в известной и неизвестной точках. В соответствии с этими терминами схема (3.34) является явной при 5 = 1, неявной при s = 0 и полуявной (полунеявной) при 0 < s < 1. В явных схемах решение в точке x_{n + v} и_{п +} j определяется непосредственно из алгебраических соотношений с известными коэффициентами. Все рассмотренные выше схемы методов Эйлера, Рунге — Кутты, Адамса (кроме схемы метода Эйлера с пересчетом) являются явными. В неявных и полунеявных схемах при s * 1 для нахождения решения в точке (х_{п 4 р} и_п, j) необходимо решить в общем случае нелинейное уравнение (3.34).

Нелинейное уравнение (3.34) можно разрешить различными методами, например, методами простой итерации, дихотомии, Ньютона и т. д. В рассматриваемом случае логично использовать метод простой итерации, поскольку нелинейное уравнение (3.34) уже разрешено относительно и_{п + г} Тогда, если номер итерации обозначить верхним индексом, итерационный процесс можно записать в виде.

Известно, что сходимость метода простой итерации зависит от выбора начального приближения. В рассматриваемом случае в качестве u⁽_n°ij можно выбрать значение и_п или какое-либо другое, например, значение, вычисленное по методу Эйлера, достаточно близкое к искомому значению и_{п + v} Вычисления по формуле (3.35) продолжаются до получения заданной точности е = |н⁽* * (.

Таким образом, очевидно, что при расчете на шаге явные схемы требуют значительно меньшего числа операций, чем неявные. Однако неявные схемы значительно более устойчивы, чем явные. Поэтому в неявных схемах ограничения на шаг разностной схемы, связанные с устойчивостью, как правило, менее жесткие, чем в явных. В результате может оказаться, что общее число операций при заданной точности и при расчетах на интервале интегрирования в неявных схемах меньше, чем в явных.

В конечном итоге о качестве разностной схемы следует судить по числу операций, необходимых для получения решения с заданной точностью. Этот критерий и является основным при сравнении явных и неявных схем.

| Понятие о жестких системах уравнений Во многих задачах управления, химической кинетики, неравновесной динамики газов возникают системы уравнений, содержащих некоторые уравнения с малым параметром при старшей производной. Соответственно матрица системы дифференциальных уравнений.

имеет существенно различные собственные числа. Последнее обстоятельство приводит к тому, что в решении содержатся быстро и медленно убывающие члены, которые нужно рассчитывать с одинаковой точностью, что накладывает значительные ограничения на шаги разностной схемы.

Обозначим через собственные числа матрицы А и через / так называемое число жесткости.

СИСТЕМА называется ЖЕСТКОЙ, если.

Такое определение не пригодно, если система сводится к одному дифференциальному уравнению, так как для него / = 1. В данном случае полагают, что уравнение является жестким, если содержит малый параметр при старшей производной.

Покажем на примере модельного уравнения для химической кинетики, что численное решение жесткого уравнения рационально строить с использованием неявных или полунеявных разностных схем, имея в виду условия устойчивости и ограничения на шаги. Рассмотрим модельное жесткое линейное уравнение, характерное для задач химической кинетики:

где, а (t) — концентрация химического компонента; х — время релаксации; а* — равновесное значение химического компонента, достигаемое при т 0. Примем здесь, что т и а* — постоянные и х мало, что характерно для условий приближения системы к равновесию.

Если обозначить а₀ = а (0), то точное решение уравнения (3.37) имеет вид Заменим уравнение (3.37) разностным уравнением.

Из соотношения (3.39) следует рекуррентное соотношение.

Используя (3.40), получаем точное решение разностного уравнения:

а точное решение дифференциального уравнения в точке (п + 1) имеет вид

Из сравнения выражений (3.41) и (3.42) следует, что решение разностного уравнения (3.41) стремится к точному при х -> 0 для всех s. Однако порядок точности схемы и устойчивость решения разностного уравнения зависят от величины этого параметра. При s = ½ разностная схема является схемой второго порядка точности, а при s = 0 и s = 1 — первого. При s -= 1 (явная схема типа Эйлера или Рунге—Кутты) иж> 1 (что имеет место, когда т мало) решение разностного уравнения существенно отличается от точного.

Действительно, при s = 1 и х «1 член в квадратных скобках в уравнении (3.41) равен (-аз)» ¹ ', т. е. очень велик при больших ж, в то время как в точном решении соответствующий член + очень мал. Из решения (3.41) следует, что максимальный шаг интегрирования при s = 1 для обеспечения устойчивого счета равен 2 т. Для задач химической кинетики характерны значения времени релаксации т порядка 10®—10″⁹. Поэтому явные схемы позволяют численно решать жесткие уравнения лишь с очень малым шагом h ~ 2 т, что делает их абсолютно непригодными даже при использовании достаточно мощных компьютеров.

В связи с этим более предпочтительной является неявная схема с s = 0, которая при ж «1 дает решения, близкие к точному. Действительно, при s — 0 член в квадратных скобках в уравнении (3.41) равен [1/ж]^{п + 1} и качественно верно отражает поведение экспоненты е‘*^{(п +} >> _в точном решении. Применение неявной схемы позволяет существенно увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными схемами при сохранении устойчивости и необходимой точности расчета.