Проверка гипотез о параметрах распределения

Нулевая и конкурирующая гипотезы, выбор критической области

Статистическая гипотеза — это предположение о законе распределения выборки и отдельных параметров (статистик) этого распределения.

Например, можно выдвинуть гипотезу о том, что распределение производительности труда работников, выполняющих на данном предприятии одинаковую работу, имеет нормальный закон распределения. Выдвинутая гипотеза называется нулевой, обозначается через H_Q. Если f (X, 0) — закон распределения случайной величины X, зависящий от параметра 0, то может быть выдвинута нулевая гипотеза о величине этого параметра, Н₀: 0 = 0_О.

Конкурирующей, или альтернативной, называется гипотеза, которая противоречит нулевой. Обозначается через Н_и например, Нр 0 = 0_а.

Задача состоит в проверке гипотезы Н₀ относительно альтернативы Н_х на основании выборки (х_а, х₂,…, х_п) из п независимых наблюдений над случайной величиной X. Для конкретной задачи выбирают критерий Т (тест). Определяют так называемую критическую область К — множество значений критерия Т, при которых нулевую гипотезу Н₀ отвергают в пользу альтернативы H_v

Принципы выбора области К были сформулированы в работах математиков Ю. Неймана и Э. Пирсона. Критическая область удовлетворяет условию Р (Т е К | Н₀ верна) < а, а — заданный уровень значимости.

Метод проверки заключается в следующем. Для выборки определяется значение теста T=t. Если t лежит в критической области, то от гипотезы Н₀ отказываются, так как осуществляется событие, имеющее малую вероятность а; если t не лежит в критической области, то данные наблюдения не противоречат выдвинутой гипотезе.

Статистика Т является случайной величиной, поэтому при проверке гипотезы Н₀ можно допустить ошибки двух видов (табл. 7.1):

• • ошибку первого рода — отвержение гипотезы в случае, когда она в действительности верна. Ее вероятность а выбирается так, чтобы это событие было практически невозможно (обычно, а = = 0,01, 0,02, 0,05, чем весомее потери от ошибочного отвержения Н₀, тем, а должна быть меньше);
• • ошибку второго рода — принятие гипотезы Н₀, когда в действительности верна альтернатива Н₁. Вероятность ошибки второго рода обозначается через (3. Область К обычно выбирают таким образом, чтобы при заданной а минимизировать ошибку второго рода (Р —" min).

Таблица 7.1

Типы ошибок при проверке гипотез.

При уменьшении уровня значимости, а критическая область К сужается. Например, пусть проверяется гипотеза Н₀: р = 0 против Нр. р = pj > 0 (рис. 7.11). В данном случае Т = х, К: х >х_кр. Может оказаться, что при начальном значении критерия t будет справедливо событие t е К, после уменьшения, а (области К) станет верным событие t е. К, т. е. можно так уменьшить величину, а (область К), что гипотеза Н₀ не будет отвергнута. Действительно, чем меньше задается вероятность ошибки 1-го рода а, тем больше вероятность 1 — а того, что гипотеза Н₀ не должна быть отвергнута.

Рис. 7.11. Проверка гипотезы Н₀: р = 0 против Нр. р = р_х > 0.

На практике часто используют вычисленный уровень значимости Он равен вероятности ошибки 1-го рода, если за границу критической области принять вычисленное значение критерия t. Для случая, приведенного на рис. 7.11, а_выч = Р (х > х_ВЬ1Ч | Н₀ верна). Гипотеза Н₀ отвергается при а_выч < а.