Критерий согласия хи-квадрат Пирсона

Статистика этого критерия имеет вид , где.

К — число интервалов, на которые разбивается выборка (может быть оценено по эмпирической формуле Стэрджеса, как при построении гистограмм); п, — число элементов выборки, попавших в i-й интервал, i = 1, …, К; р_; — вероятность попадания случайной величины в интервал (х,__а; х,), которая определяется для выбранного теоретического закона F (x). Например, при проверке гипотезы о нормальном законе распределения F (Xj_| < X < х,) = Ф₀(2() — O₀(Zi_i). ^гД^{е ф}о (2) — функция Лапласа; z = (х — ц)/о — значение нормированной случайной величины. Произведение пр, является теоретическим числом значений случайной величины X, попавших в интервал (х,__а; х,).

Критическая область задается неравенством Xn > Xi-a> ^гДе Х²__а — критическое значение, определяемое для выбранного уровня значимости а. Если статистика х² попадает в критическую область, то гипотеза Н₀ отвергается; если х² 2 х²_", то гипотеза может быть принята с доверительной вероятностью 1 — а.

Критическое значение Х-₀. является решением уравнения Р (Х² > Xi-a)^{= а}— Для простой гипотезы значение х²__а имеет число степеней свободы г = К — 1.

При проверке сложной гипотезы для подбора гипотетического распределения определяются выборочные оценки параметров 0_Х, 0₂, …, 0_;. Так, при проверке нормальности закона распределения при неизвестных р и о вычисляются х и S. Критические значения Xi-а для сложной гипотезы имеют число степеней свободы г = (К — I — 1), где I — число параметров теоретического закона распределения.

Другой способ проверки гипотезы Н₀ — использование вычисленного уровня значимости а_выч = Р (х² >х^__а) для сосчитанного значения статистики Пирсона Хп ^{с г} степенями свободы. Если а_выч < а, то гипотеза отвергается, в противном случае гипотеза принимается.

Применение критерия у} Для сложной гипотезы о законе распределения выборки, когда его параметры неизвестны, из-за неоднозначности разбиения выборки на непересекающиеся интервалы не всегда обеспечивает правильный результат.

Статистика х² имеет распределение х² лишь при п —" °°. Поэтому критерий Пирсона на практике применяют, если число наблюдений в каждом из интервалов не меньше 10. В противном случае, если число наблюдений достаточно, объединяют соседние интервалы, для которых np_t < 10, чтобы для любого i = 1, …, К' пр₍> 10, где К' — скорректированное число интервалов.

Пример 7.4.

Результаты опроса общественного мнения говорят о том, что наибольшей популярностью у покупателей пользуются мужские пальто серого цвета (30% опрошенных), затем пальто черного цвета (26%), синего (22%) и коричневого (22%). Имеется ли существенная разница между цветами пальто с точки зрения покупателей, если считать, что результаты получены: 1) при п = 100, 2) при п = 1000?

Решение. Применим критерий хи-квадрат при уровне значимости a = 0,05. Проверим гипотезу о принадлежности данных опроса к равномерному распределению. Здесь число интервалов К = 4.

При п = 100 имеем значения частот п j = 0,3 • п = 30, п₂ = 26, п₃ = 22, п₄ = 22; теоретические вероятности р" i = 1, …, 4, для равномерного распределения равны 0,25; теоретические частоты пр₍ = 100 • 0,25 = = 25; критическое значение с числом степеней свободы г = 4 — 2 — -1 = 1 равно %о, 95(1) ⁼ 3.8- Значение критерия Пирсона.

поэтому гипотеза о принадлежности данных опроса к равномерному распределению не противоречит экспериментальным данным и может быть принята.

При п = 1000 значение критерия.

поэтому гипотеза о принадлежности распределения популярности пальто различного цвета к равномерному распределению должна быть отвергнута. В этом случае имеет смысл упорядочить все цвета мужских пальто по уровню спроса.