Краткие сведения о нелинейных колебаниях

Общие сведения о динамических задачах в нелинейной постановке и методах их решения.

Нелинейные колебания описываются нелинейными уравнениями или системой таких уравнений. Так, например, свободные колебания маятника 0(t) могут быть изучены на базе нелинейного дифференциального уравнения.

где L — длина маятника; g — ускорение свободного падения.

В нелинейное дифференциальное уравнение обобщенная координата или ее производные входят нелинейно. (Нс следует путать нелинейное дифференциальное уравнение с линейным неоднородным дифференциальным уравнением, в котором правая часть может быть нелинейной функцией времени.).

Как уже отмечалось в параграфе 2.3, во многих случаях удается осуществить приближенную замену нелинейной характеристики линейной. Такую процедуру называют линеаризацией. Так, в дифференциальном уравнении (8.1) при малых значениях 0 можно принять sin0 «0, после чего это уравнение оказывается линейным. Однако такая замена не всегда возможна.

Обращение к нелинейной модели обычно вызвано тем, что многие существенные динамические явления не вмещаются в рамки линейной теории и нс могут быть с се помощью ни объяснены, ни описаны. К нелинейным эффектам, например, относятся: зависимость частоты свободных колебаний от амплитуды; существование нескольких режимов вынужденных колебаний при фиксированной частоте вынуждающей силы; так называемые субгармонические колебания, частота которых отличается от частоты возмущения; автоколебания и др. Использование же нелинейных моделей только для уточнения результатов, полученных на базе линейной теории, обычно играет второстепенную роль.

В задачах динамики механизмов нелинейные силы могут иметь различную природу. Среди них можно выделить следующие:

• • нелинейные восстанавливающие силы при отклонениях упругих характеристик от закона Гука (см. рис. 2.4, а);
• • нелинейные диссипативные силы (так, например, сила кулонова трения описывается нелинейной функцией видаР =
• —И
• • нелинейные силы, возникающие в механизмах с нелинейной функцией положения, когда линеаризация в окрестности программного движения (см. параграф 7.1) невозможна из-за больших колебаний ведущих звеньев [5];
• • нелинейные силы, связанные с конструктивными особенностями механической системы.

Рис. 8.1

В качестве соответствующих нелинейных элементов могут служить зазоры (рис. 8.1, а), ограничители (рис. 8.1,6), специальные нелинейные муфты, в которых передаваемый момент М зависит от угловой деформации упругих элементов муфты Дф, конические пружины и др. (рис. 8.1, в, г). Отметим, что для характеристик восстанавливающих сил или моментов, показанных на рис. 8.1, а, б, в, г, проиллюстрированный в параграфе 2.3 способ линеаризации в окрестности точек излома принципиально не возможен даже при малых колебаниях. Такие случаи относят к существенно нелинейным колебаниям.

Нелинейные свойства механических систем нередко целенаправленно используются для получения требуемых динамических эффектов, применяемых во многих отраслях техники [6*]. Однако наряду с этим приходится сталкиваться и с нежелательными нелинейными эффектами, например, с ударными явлениями в зазорах, явлением затягивания в резонансных зонах, с фрикционными автоколебаниями и др. (см. ниже).

Нелинейные системы и методы их исследования составляют развивающуюся ветвь теории колебаний и теории автоматического управления. Повышенная сложность изучения этих систем и их инженерного расчета, но сравнению с линейными связана с тем, что за исключением некоторых частных случаев, обычно не представляющих большого практического интереса, отсутствуют точные решения системы нелинейных дифференциальных уравнений. Поэтому при исследовании нелинейных систем широко используются как численные приближенные методы, так и аналитические. Опыт решения нелинейных задач в различных отраслях техники убедительно свидетельствует о том, что эти задачи требуют от исследователя более высокого уровня понимания характера изучаемых явлений и возникающих нелинейных эффектов; последнее немыслимо без владения аналитическими методами даже в тех случаях, когда при расчетах используются численные методы. Таким образом, при анализе нелинейных колебаний также следует стремиться к разумному сочетанию численных и аналитических методов.

Методам решения нелинейных задач теории колебаний посвящено большое число монографий и учебных пособий. Ниже мы остановимся лишь на нескольких методах, дающих возможность выявить характерные нелинейные эффекты и прогнозировать поведение нелинейных колебательных систем.