Пример использования понятий энергии Е и момента инерции тел J

Пусть даны два шарика одинакового радиуса и с одинаковой массой. Один шарик сделан из золота, другой — из меди с тончайшей позолотой, так что по внешнему виду они неразличимы. Как определить какой шар из золота, если царапать или повреждать шарики другими способами нельзя?

Решение. Так как золото гораздо тяжелее меди, то при одинаковом диаметре шаров золотой шар будет пустотелым (или, в общем случае полость медного шара будет меньше). А это значит, что моменты инерции J у шаров разные. Так как величины J пропорциональны квадратам их радиусов, то нетрудно догадаться, что/_Ли > J_Cu.

Для обоснования простого способа решения данной задачи используем выражения для кинетических энергий шаров.

Если сообщить обоим шарам одну и ту же кинетическую энергию, т. е. Е_х = Е₂, то соотношение угловых скоростей будет равно.

Одинаковую начальную энергию можно сообщить шарам, установив их на наклонной плоскости. При этом каждый шар будет иметь одинаковую начальную (потенциальную) энергию Е = mgh. Далее, если дать шарам свободу, они будут скатываться вниз по наклонной плоскости со скоростями, обратно пропорциональными их моментам инерции, что доказывается следующим образом.

Так как Е_{ = Е₂ = mgh, а линейная скорость центра тяжести шара V = соR, то соотношение скоростей перемещения шаров по плоскости можно записать в виде

Так как , то V₂ > V_v т. е. медный шар обгонит золотой.