Законы Кирхгофа для изображений

В уравнениях Кирхгофа для переходного режима фигурируют функции времени (токов, напряжений, ЭДС):

Подвергая обе части уравнений (9.8) операторному преобразованию Лапласа, приходим к уравнениям относительно изображений токов /(/;), напряжений U (p) и ЭДС Е (р):

Таким образом, согласно уравнениям (9.9):

• • алгебраическая сумма изображений токов в узле электрической цепи равна нулю;
• • алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в замкнутом контуре электрической цепи, равна алгебраической сумме изображений напряжений на всех остальных элементах контура.

Эти формулировки называют первым и вторым законами Кирхгофа для изображений. Важно отметить, что система уравнений Кирхгофа в операторной форме (9.9) представляет собой систему алгебраических уравнений, в отличие от системы (9.8), которая является системой интегро-дифференциалъных уравнений.

Порядок расчета переходных процессов операторным методом

Операторный способ нахождения зависимостей от времени токов в ветвях и напряжений на участках линейной электрической цепи в переходном режиме включает в себя выполнение следующих шагов.

• 1. Расчет докуммутационного режима с целью определения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, т. е. ф (0), м_с(0).
• 2. Построение операторной модели послекоммутационной цепи. Структура модели повторяет структуру заданной цепи после коммутации. Все элементы модели являются отражением элементов исходной схемы.

Источникам ЭДС и тока реальной цени соответствуют операторные ЭДС и источники тока. Их интенсивности равны изображениям по Лапласу интенсивностей источников заданной схемы.

Пассивные элементы R, L, С в операторной модели представляются их операторными схемами замещения, рассмотренными в параграфе 9.2.

• 3. Расчет операторной модели. Целью такого расчета является нахождение изображений требуемых в задаче величин (токов, напряжений). Главным способом выполнения данного расчетного этапа являются составление системы уравнений Кирхгофа для операторной схемы и ее решение. Причем алгебраическая форма операторных уравнений Кирхгофа позволяет применять к операторным моделям методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора. Можно при этом пользоваться всеми преобразованиями, которые справедливы при алгебраической форме уравнений Кирхгофа.
• 4. Переход от найденного изображения к оригиналу. Хотя данный переход формально возможен при помощи формулы обратного преобразования Лапласа А, этим путем чаще всего не пользуются. Обычно переход к оригиналу осуществляется по таблицам соответствия изображений и оригиналов. Они приводятся в математических справочниках, а также во многих фундаментальных учебниках, рассматривающих применение операторного метода для решения электротехнических задач. Поэтому найденное изображение предварительно приводят к сумме изображений табличного вида, например при помощи теоремы разложения (параграф 9.5).

Рассмотрим применение данной методики на конкретных задачах, но расчету переходных процессов.

Пример 9.1. Для цепи, изображенной на рис. 9.4, а, заданы параметры: Е = = const = 250 В; /_к = const = 4 A; R_t= 125 Ом; R = 100 Ом; L = 0,04 Гн. В исходном состоянии ключ замкнут; режим установившийся. Определить функции времени токов в индуктивности i_L(t) и в резисторе i_R(t) после размыкания ключа (при t = 0).

Решение

1. Рассматриваем режим до коммутации, т. е. при замкнутом ключе, с целью нахождения тока в индуктивности непосредственно перед размыканием ключа /,(0_). По условию задачи в установившемся режиме до коммутации через резистор R ток не протекал, поскольку он был шунтирован индуктивностью (L — короткое замыкание). Поэтому.

Отрицательный знак г,(0) вызван выбранным для него на рис. 9.4, а направлением.

2. Строим операторную модель цепи, изображенной на рис. 9.4, а, руководствуясь правилами, сформулированными в начале параграфа 9.4. Согласно этим.

Рис. 9.4. К примеру 9.1:

а — заданная цепь; б — ее операторная модель; в — графики временных зависимостей.

Ш) ^и h (0

правилам в операторной модели, приведенной на рис. 9.4,6, ключ разомкнут, источники постоянного тока /_к и постоянной ЭДС Е представлены операторными источниками 1_к/р и Е/р_} резисторам R_{ и R соответствуют элементы с операторными сопротивлениями Z_R(p) = Я, и Z_R(p) = R, индуктивность изображается двумя последовательными элементами — пассивным элементом с операторным сопротивлением Z_L(p) = Lp и источником ЭДС Li_L(0₊) = Li_L(0).

3. Расчет операторной схемы (рис. 9.4, 6) проведем по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа.

По второму закону Кирхгофа для контура без источника тока.

Из записанных уравнений для изображений искомых токов получаем.

4. Изображениям I_R(p) и 1,(р) согласно табл. 9.1 соответствуют функции времени.

Графики найденных зависимостей построены на рис. 9.4, в.

Пример 9.2. При замыкании ключа в цепи, изображенной на рис. 9.5, а, в момент времени t = 0 к конденсатору С, = 2*10 ^ь Ф, заряженному до напряжения м_С)(0) = 500 В, подключается незаряженный конденсатор С₂ = 8−10 ⁶ Ф с последовательным резистором R = 250 Ом.

Требуется получить зависимости от времени напряжений на конденсаторах m_Ci(?) и и_с (1) в переходном режиме, а также оценить длительность переходного процесса. Каким станет напряжение на конденсаторах по окончании переходного процесса?

Рис. 95. К примеру 9.2:

а — заданная цепь; 6 — операторная схема замещения; в — графики функции u_c(jt) и u_c(_<t)

Решение

• 1. По условию непосредственно перед замыканием ключа напряжения на конденсаторах равны и_с~{0) = 500 В, и_с (0) = 0.
• 2. Операторная модель цепи, представленной на рис. 9.5, а, приведена на рис. 9.5, 6. Она содержит один операторный источник ЭДС, обусловленный на-

и_с (0₊).

чальиым значением напряжения на конденсаторе С, интенсивностью —¹-=.

и_г(0) ^р

= ——, и три пассивных элемента с операторными сопротивлениями Z_c^(p) =

⁼ с~р' ⁼ С~р' ^{Zr (j}) = R}-

3. Расчет операторной схемы, изображенной па рис. 9.5, б, начинаем с нахождения изображения тока 1(р) по закону Ома:

Изображения напряжений на конденсаторах U_c(j>) и U_c(p) записываем по найденному изображению тока с учетом их положительных направлений, указанных на рис. 9.5, Су.

• 4. Зависимости u_c (t) и u_c>(t) получаем по полученным операторным выражениям, обращаясь к табл. 9.1. Учитываем, что операторное выражение А/p изображает постоянную во времени функцию Л = const, а операторное выражение ¹ 1
• —— — функцию -(1 — е). Следовательно:

р (р + а) ^а

Графики зависимостей u_c {t) и u_c (t) представлены на рис. 9.5, «. Обе кривые асимптотически стремятся к горизонтальной прямой, отсекающей по оси напряжений отрезок, равный 100 В. Следовательно, установившиеся (принужденные) напряжения на конденсаторах (при t —⁵? 00) одинаковы и равны 100 В: и_С[Пр = и_с>п[) =

= и_с«р=100 В.

Этот результат может быть получен без расчета переходного процесса, но закону сохранения заряда. Так как данная цепь не содержит источников, суммарный заряд па обкладках конденсаторов, соединенных гальванически, остается без изменений, а именно:

Из этого уравнения находим установившееся напряжение на конденсаторах:

Несмотря на наличие двух накопителей энергии С, и С₂, переходный процесс в рассматриваемой цепи имеет первый порядок. Поэтому его длительность оценивается по показателю экспоненты, фигурирующей в найденных функциях времени: e~^2500t. Такой экспоненте соответствует постоянная времени т = г—: =.

= 0,4 • 10 ³ с = 0,4 мс (см. подпараграфы 8.4.2 и 8.4.3). Если за время переходного процесса взять интервал времени Зт, то его длительность составляет 3 * 0,4 -10 ³ с = = 1,2 мс.