Интеграл Грина для гармонических функций

Применим формулу (К.4) для определения потенциала в произвольной точке В объема V С этой целью окружим точку В сферой S_B малого радиуса р (рис. К.1, б) и применим формулу (К.4) к поверхностям.

S и S_B:

где п — нормаль к поверхности S; v— нормаль к поверхности S_B, обе они внешние к объему V.

Устремим радиус р к нулю. При этом.

так как 5q>/0v — величина ограниченная (функция ф непрерывна в области S_B стремится к нулю, как р², а 1/г возрастает как 1 /р. При р-«0 потенциал точек поверхности S_B примерно равен потенциалу у_в точки В:

Дополнительно учтем, что.

Таким образом, потенциал произвольной точки В внутри области.

Он определяется значением потенциала и нормальной производной потенциала на поверхности, ограничивающей область V. Физически первое слагаемое формулы (К.5) обусловлено поверхностными зарядами, ках бы «вкрапленными» в поверхность S, а второе — зарядами диполей на поверхности, т. е. двойным заряженным слоем.

К.4. Функция Грина.

Положим, что в точке А (рис. К.1, а) находится точечный заряд q- 4 я s_a, а поверхность S является проводящей и заземлена, т. е. потенциал ее равен нулю. Вследствие электростатической индукции на внутренней стороне поверхности возникают отрицательные наведенные заряды плотностьюа, а на наружной +о. Суммарный отрицательный заряд на внутренней поверхности равен суммарному положительному заряду на внешней поверхности н каждый нз них численно равен q.

Обозначим расстояние произвольной точки В до точки А через г, а до произвольной точки на поверхности — через R. Тогда:

Если точка В будет находиться на поверхности 5, то ее потенциал по условию задачи должен быть равен нулю.

Функцией Грина G§ **/r + g называют функцию, которая обладает свойством потенциала произвольной точки В в рассматриваемой задаче, г. е. ока является гармонической функцией и принимает нулевое значение на поверхности S.

Функция G определена через функцию g, представляющую собой решение уравнения Лапласа для рассматриваемой задачи.

Основная трудность решения методом функций Грина заключается в отыскании функции g. Она найдена лишь для некоторых частных случаев: например, в поле точечного заряда И от проводящей плоскости (см. рис. К. , в), гМ г'.

К.5. Определение потенциала? через функции Грина в общем случае.

В объеме У, ограниченном поверхностью S, имеются объемные заряды р, распределенные с заданной плотностью, известны потенциалы поверхностей и функция Грина. Положим н формуле (К. 3) a*g*G-l/r, учтем, что V² а * 0, а У²ф=-р/е_а. Тогда.

Кроме того, из физических соображений следует, что потенциал производной точки В определяется объемными н поверхностными зарядами, а также двойным заряженным слоем (диполями) на границе:

Вычтем (K.6) из (K.7) и учтем, что функция Грина на поверхности S равна нулю. Получим формулу для определения потенциала произвольной тючки <�р_в через функцию Грина и ее нормальную производную.

где и — внешняя нормаль к объему. Примеры на применение формулы (К.8) см. в (4).

Приложение