Единицы измерения мгновенной, активной, полной и реактивной мощностей

Хотя размерности мгновенной, активной, полной и реактивной мощностей одинаковы, единицам их измерения даны различные названия.

Единица измерения мгновенной и активной мощностей называется ватт:

Единица измерения полной мощности называется вольт-ампер:

Единица измерения реактивной мощности называется вольт-ампер реактивный:

Условие передачи наибольшей активной мощности от активного двухполюсника к пассивному в синусоидальном режиме.

Рассмотрим достаточно общий случай, когда к зажимам активного двухполюсника подключен пассивный (рис. 4.6, а). Активный двухполюсник является источником электрической энергии, а пассивный — потребителем, или нагрузкой.

Решим следующую задачу. Считая параметры активного двухполюсника заданными и неизменными, определим величину комплексного входного сопротивления пассивного двухполюсника, при которой от источника в нагрузку передается наибольшая активная мощность (обозначаем ее Р_н).

Получим выражение, связывающее Р_п с параметрами источника и нагрузки. С этой целью представим активный и пассивный двухполюсники.

Рис. 4.6. К условию передачи наибольшей активной мощности от активного двухполюсника к пассивному:

а — общее изображение случая, когда нагрузкой активного двухполюсника является пассивный двухполюсник; б — эквивалентная схема после замены активного и пассивного двухполюсников их простейшими схемами замещения простейшими схемами замещения. По теореме об эквивалентном генераторе активный двухполюсник заменяем источником ЭДС величиной U_xx (комплекс напряжения на разомкнутых зажимах активного двухполюсника) и включенным последовательно комплексным сопротивлением Z_nx (входное сопротивление активного двухполюсника).

Пассивный двухполюсник заменяем эквивалентным ему входным сопротивлением, обозначим его Z_H. После указанной замены приходим к неразветвленной цепи (рис. 4.6, б), в которой протекает ток /_н, равный току на входе пассивного двухполюсника исходной схемы. Для определенности полагаем, что указанные на схемах и фигурирующие в расчетах комплексы являются комплексами действующего значения.

Из эквивалентной схемы на рис. 4.6, б ток /_|( определяется по закону Ома:

С учетом алгебраической формы записи комплексов Z_BX = R_BX + jX_BX и Z_H = R_H + jX_u уравнение (4.8) принимает вид.

Из комплексного уравнения (4.9) следует уравнение для модулей.

Активная мощность, потребляемая нагрузкой, выделяется только на резистивной составляющей, т. е. Р_н = I*R_n. С учетом формулы (4.10) для Р_п получаем выражение.

Уравнение (4.11) связывает активную мощность нагрузки с параметрами источника и нагрузки.

По условию задачи величины t/_xx, R_BX и Х_вх (параметры источника) считаем неизменными. Параметры нагрузки R_H и Х_н могут изменяться.

Проведем исследование соотношения (4.11) и выясним, при каких величинах R_u и Х_п пассивный двухполюсник потребляет от источника наибольшую мощность.

Разбиваем исследование соотношения (4.11) на два этапа.

1. Считая R_H неизменным и заданным, найдем величину реактивной составляющей Х_н, при которой соотношение (4.11) достигает максимума. Данное требование равносильно требованию минимума выражения, стоящего в его знаменателе: (/?_вх + RJ² + (Х_вх + Х_и)².

В записанной сумме оба слагаемых не могут быть отрицательными, ее минимум достигается только при (Х_вх + Х_н) = 0. Из этого уравнения следует условие для реактивной составляющей сопротивления нагрузки, необходимое для обеспечения наибольшей активной мощности в нагрузке при фиксированном значении R_u:

При выполнении равенства (4.12) активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна.

2. Исследуем выражение (4.13) на экстремум при изменении величины R_u:

Из последнего уравнения следует.

Таким образом, наибольшая активная мощность в нагрузке активного двухполюсника обеспечивается при выполнении двух условий (4.12) и (4.14):

• • реактивная составляющая сопротивления нагрузки равна по величине, но противоположна по знаку реактивной составляющей внутреннего сопротивления источника;
• • резистивная составляющая сопротивления нагрузки равна резистивной составляющей внутреннего сопротивления источника.

Два вещественных условия (4.12) и (4.14) можно объединить в одно уравнение для комплексов: Z_H = R_u + jX_n = R_BX -jX_nx = Z*_x, где Z*_x — комплекс, сопряженный с комплексом Z_nx.

Вывод. Для передачи наибольшей мощности от активного двухполюсника в нагрузку сопротивление нагрузки должно быть комплексно сопряжено с входным сопротивлением активного двухполюсника:

При выполнении условия (4.15) мощность, передаваемая в нагрузку, в соответствии с выражением (4.11) равна.

Поскольку R_liX = R_uy на внутреннем резистивном сопротивлении источника выделяется точно такая же мощность. Поэтому коэффициент полезного действия передачи энергии в рассматриваемом режиме равен 50%.

Режим, при котором от источника в нагрузку передается наибольшая из возможных мощность, называется согласованным. Процесс обеспечения условия (4.15) называют согласованием.

Обратим внимание, что соотношение (4.15) равносильно условию резонанса в неразветвленном контуре эквивалентной цепи, показанной на рис. 4.6, б.

Пример 4.1. Для цепи, изображенной на рис. 4.7 (символическая модель), заданы: действующее значение тока синусоидального источника /_к= 5 А, его частота со = 2000 рад/с; Я, = Д = 100 Ом; С = 5• 10'⁶ Ф.

Требуется: 1) подобрать величины активной R_H и реактивной Х_н составляющих комплексного сопротивления нагрузки, при которых происходит отбор наибольшей мощности в нагрузку; 2) определить мощность нагрузки в согласованном режиме Р_{н тах}; 3) найти показание амперметра, измеряющего действующее значение.

Рис. 4.7. Схема к примеру 4.1, иллюстрирующему методику подбора параметров нагрузки с целью передачи наибольшей активной мощности в нагрузку.

Решение

1. Расчет Z_H = R_n + jX_n. Для получения в нагрузке наибольшей активной мощности сопротивление нагрузки должно быть комплексно сопряжено с входным сопротивлением активного двухполюсника, подключенного к нагрузке. Активный двухполюсник (см. рис. 4.7) но отношению к зажимам «а», «б» обладает сопротивлением

Следовательно, Z_H = R_n +jX_n = Z*_x = 100 + jlOO Ом.

Полученное комплексное сопротивление Z_H можно реализовать последовательным соединением резистора R_H = 100 Ом и индуктивности L_H, определяемой из соотношения соЬ_н = Х_п =100 Ом; L_H = 0,05 Гн.

2. Расчет максимальной мощности Р_{и тах}. Рассмотрим активный двухполюсник на рис. 4.7 в режиме холостого хода его зажимов «а», «б» (обрываем нагрузочную ветвь).

Напряжение на разомкнутых зажимах «а», «б» вызвано протеканием тока /_к через элементы R, С. Поэтому.

Для определенности примем начальную фазу тока источника равной нулю, тогда его комплекс равен /_к = 5e^Jl) А, а для комплекса напряжения холостого хода в этом случае получаем такой результат:

Модуль этого комплекса равен действующему значению напряжения холостого хода.

Активную мощность в нагрузке вычисляем по формуле.

3. Показание амперметра. Амперметр в цепи на рис. 4.7 измеряет действующее значение тока нагрузки /_и. Его комплекс равен.

Амперметр показывает модуль найденного комплекса: Л —? 2,5² А.