Проверка (тестирование) статистических гипотез

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде ши параметре неизвестного закона распределения.

Проверяемую гипотезу обычно называют нулевой и обозначают Н₀. Наряду с нулевой гипотезой Я₀ рассматривают альтернативную, или конкурирующую, гипотезу являющуюся логическим отрицанием Н₀. Нулевая и альтернативная гипотезы представляют собой две возможности выбора, осуществляемого в задачах проверки статистических гипотез.

Суть проверки (тестирования) статистической гипотезы заключается в том, что используется специально составленная выборочная характеристика (статистика) 9″ (х₁₍ х₂,…, х_п), полученная по выборке Х_ь Х₂…Х_п точное или приближенное распределение которой известно. Затем по этому выборочному распределению определяется критическое значение 9_К|) — такое, что если гипотеза Н₀ верна, то вероятность Р (&" >9_К|)) мала; так что в соответствии с принципом практической уверенности в условиях данного исследования событие 9″ > 9_кр можно (с некоторым риском) считать практически невозможным. Поэтому, если в данном конкретном случае обнаруживается отклонение 9″ > 9_кр, то гипотеза Н₀ отвергается, в то время как появление значения 9″ < 9_К|) считается совместимым с гипотезой Н₀, которая тогда принимается (точнее, не отвергается). Правило, по которому гипотеза Н₀ отвергается ши принимается, называется статистическим критерием или статистическим тестом.

Таким образом, множество возможных значений статистики критерия (критической статистики) 9″ разбивается на два непересекающихся подмножества: критическую область (область отклонения гипотезы) W иобласть допустимых значений (область принятия гипотезы) V. Если фактически наблюдаемое значение статистики критерия 0″ попадает в критическую область W, то гипотезу Н₀ отвергают. При этом возможны четыре случая:

Вероятность, а допустить ошибку 1-го рода, т. е. отвергнуть гипотезу Н₀ когда она верна, называется уровнем значимости критерия.

Вероятность допустить ошибку 2-го рода, т. е. принять гипотезу Н₀, когда она неверна, обычно обозначают р.

Вероятность (1 — Р) не допустить ошибку 2-города, т. е. отвергнуть гипотезу Hq, когда она неверна, называется мощностью (или функцией мощности) критерия.

Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода (а и Р) однозначно определяются выбором критической области. Очевидно, желательно сделать как угодно малыми аир. Однако это противоречивые требования: при фиксированном объеме выборки можно сделать как угодно малой лишь одну из величин — а или р, что сопряжено с неизбежным увеличением другой. Лишь при увеличении объема выборки возможно одновременное уменьшение вероятностей аир.

Критическую область W следует выбирать так, чтобы вероятность попадания в нее статистики критерия 0″ была минимальной и равной а, если верна нулевая гипотеза Н_ф и максимальной в противоположном случае:

Другими словами, критическая область должна быть такой, чтобы при заданном уровне значимости мощность критерия 1 — Р была максимальной. Задача построения такой критической области (или, как говорят, построения наиболее мощного критерия) для простых гипотез решается с помощью теоремы НейманаПирсона, излагаемой в более полных курсах математической статистики.

В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Я* выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критическую область. Границы критической области при заданном уровне значимости, а определяются соответственно из соотношений:

• для правосторонней критической области.

• для левосторонней критической области.

• для двусторонней критической области.

Следует отметить, что в компьютерных эконометрических пакетах обычно не находятся границы критической области 0_кр, необходимые для сравнения их с фактически наблюдаемыми значениями выборочных характеристик 6_набл и принятия решения о справедливости гипотезы Я₀. А рассчитываются точные значения уровня значимости (p-valio), исходя из соотношения Р|в" > 0_на6л) = р. Если вероятность р очень мала, то гипотезу Я₀ отвергают, в противном случае Щ принимают.

Принцип проверки (тестирования) статистической гипотезы не дает логического доказательства ее верности ши неверности. Принятие гипотезы Н₀ следует расценивать не как раз и навсегда установленный, абсолютно верный содержащийся в ней факт, а лишь как достаточно правдоподобное, не противоречащее опыту утверждение.

В табл. 2.1 представлены часто встречающиеся критерии проверки гипотез о числовых характеристиках нормально распределенной генеральной совокупности.

Таблица 2.1.

Окончание табл. 2.4.

? Пример 2.10. На основании сделанного прогноза средняя дебиторская задолженность однотипных предприятий региона должна составить a₀ — 120 ден. ед. Выборочная проверка 10 предприятий дала среднюю задолженность х = 135 ден. ед., а стандартное отклонение задолженности s = 20 ден. ед. На уровне значимости 0,05 выяснить, можно ли принять данный прогноз.

Решение. Проверяемая гипотеза#₀: .v₀ = а₀ =120. В качестве альтернативной возьмем гипотезу Н{. х_{) = а, = 135.

Статистика критерия в соответствии с табл. 2.1 равна, х-а₀ 135−120 _{оос т},.

t =-.-=-, = 2,2.). Критическое значение статистики.

5 / уп — 20/^10−1.

^1−2 о. о5;ю 1 ⁼ /'0,9_:9 =1,83. Так как (2,25 > 1,83), то гипотеза Н₀

отвергается, т. е. на 5%-ном уровне значимости сделанный прогноз должен быть отвергнут. ?

? Пример 2.11. На двух станках обрабатываются детали. Отобраны две пробы: из деталей, сделанных на первом станке, п₁ - 15 пгг., и на втором станке — Щ~ 18 пгг. По данным этих выборок рассчитаны выборочные дисперсии s'² = 8,5 (для первого станка) и s² = 6,3 (для второго станка). Полагая, что размеры деталей подчиняются нормальному закону распределения, на уровне значимости, а = 0,05 выяснить, можно ли считать, что станки обладают различной точностью.

Решение. Имеем нулевую гипотезу Н₀: о² = о², т. е. дисперсии размера деталей, обрабатываемых на каждом станке, равны. Возьмем в качестве конкурирующей гипотезу Н₀: <�у² > о² (дисперсия больше для первого станка). Статистика критерия (см. табл. 2.1):

По табл IV приложений критическое значение F < F_{0 05;14:17} = 2,33. Так как F < /v>, 05_;i4;i7,^то гипотеза Я₀ не отвергается, т. е. имеющиеся данные не позволяют считать, что станки обладают различной точностью. ?