Основы теории напряженного состояния

Значения нормальных и касательных напряжений в сечении, проходящих через произвольную точку тела, зависят от его ориентации.

Совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих во всех площадках, проходящих через рассматриваемую точку, называется напряженным состоянием в точке.

Для исследования напряженного состояния в окрестностях произвольной точки тела выделяют элемент в виде бесконечно малого параллелепипеда (рис. 1.12). Полное напряжение на каждой из его граней можно разложить на одно нормальное и два касательных напряжения. Нормальное напряжение, а принято приводить с индексом, соответствующим осям x, ynz. Касательные напряжения т обычно сопровождаются двумя индексами: первый соответствует направлению нормали к площадке, а второй — направлению самого напряжения.

Сумма проекций всех сил на оси х, уиг тождественно равна нулю, независимо от величин возникающих напряжений а_т, и с_г. Моменты относительно осей х, у и z взаимно уравновешиваются, а моменты от касательных сил будут равны нулю только в том случае, если.

(например, для оси хусловие равенств суммы моментов дает: х dxdydz — x_rdxdydz). Иначе говоря, на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие

Рис. 1.12. Напряженное состояние на гранях элемента объема.

касательных напряжений, перпендикулярные общему ребру, равны и направлены либо к ребру, либо от ребра. Этот закон называется законом парности касательных напряжений.

Таким образом, напряженное состояние в точке можно характеризовать симметричным тензором второго ранга:

Если ориентацию граней выделенного элемента изменить, то будут меняться как нормальные, так и касательные напряжения.

При этом можно найти такие площадки, на которых касательные напряжения будут равны нулю. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках — главными напряжениями. Три главные площадки всегда взаимно перпендикулярны. Следовательно, в каждой точке тела будет три главных взаимно перпендикулярных напряжения. В порядке убывания три главных напряжения принято обозначать о, о, и а₃ (а, > а₂? а₃). Или в тензорной форме записи.

Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние называют трехосным, или объемным. При двух главных напряжениях, отличных от нуля, возникает двухосное, или плоское, напряженное состояние. Если не равно нулю только одно главное напряжение, то напряженное состояние называется одноосным, или линейным.

Наибольшие из всех возможных касательных напряжений возникают в площадках, наклоненных под углом 45° к главным площадкам и равны.

Обобщенный закон Гука для объемного (пространственного) напряженного состояния имеет следующий вид:

где р — коэффициент Пуассона.

Деформации ?, е₂, ?3 в направлении главных напряжений называют главными деформациями.

Зная ?, ?₂, ?₃, можно вычислить изменение объема при деформации.

Если объем кубика до деформации равен V₀ = dxdydz, то после деформации его объем равен:

(Произведениями? как величинами, малыми по сравнению с самими ?, пренебрегают.).

Относительное изменение объема v равно.

Из этой формулы следует, что коэффициент Пуассона р не может быть больше 0,5. Действительно, при трехосном растяжении объем элемента v уменьшиться не может, то есть значение положительно, а это возможно лишь при условии 1 -2р > 0, так как главные напряжения в этом случае положительны (а,? а₂ > а₃> 0).

Удельная потенциальная энергия, накопленная в единице объема при действии главных напряжений а, с₂, а₃:

Напряжение, при котором происходит качественное изменение свойств материала — либо хрупкое разрушение, либо возникновение больших остаточных деформаций (текучесть), называется предельным.

При объемном напряженном состоянии предельное напряженное состояние может возникнуть при различном соотношении главных напряжений. Экспериментально установить предельные значения главных напряжений не рационально из-за огромного количества возможных сочетаний главных напряжений. Кроме того, такие испытания требуют очень сложных машин и приборов.

При оценке опасности нагружения по результатам ограниченного числа испытаний за эталон сравнения принимают одноосное растяжение или сжатие.

Построение гипотез прочности основывается на предпосылке, состоящей в том, что два каких-либо напряженных состояния считаются равпоопасчыми или равнопрочными, если они при пропорциональном увеличении главных напряжений в одно и то же число раз одновременно становятся предельными.

Под коэффициентом запаса понимают число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным.

Если в двух напряженных состояниях коэффициенты запаса равны, то такие напряженные состояния будут равноопасными.

Такой подход дает возможность сравнить заданное напряженное состояние с одноосным растяжением (эталоном с напряжением о_жя) но коэффициенту запаса п — п_жо.

Эквивалентным называют напряжение, которое нужно создать в растянутом образце из того же материала, чтобы его напряженное состояние стало равноопасно заданному объемному.

Критерием прочности (критерием предельного напряженно-деформированного состояния) называют параметр (фактор), на основании которого производится оценка прочности, и выявляется равноопасное состояние.

Опасность нагружения оценивают следующим образом. Заменяют пространственное (сложное) напряженное состояние эквивалентным одноосным о_ма, которое сравнивают с одноосным допускаемым напряжением (рис. 1.13). Следовательно, задача сводится к нахождению эквивалентного напряжения.

Рис. 1.13. Эквивалентные напряженные состояния.

Для определения зависимости су_9кв от о, а₂ и а₃ было предложено несколько гипотез прочности о причинах перехода материалов в предельное состояние. Наличие нескольких гипотез связано с тем, что гипотеза, пригодная для одного материала, может быть неприменима для другого. Поэтому критерии прочности не имеют универсального характера, а обобщают какую-либо одну группу экспериментов.

Если же попытаться учесть несколько факторов, то гипотеза становится достаточно сложной и малопригодной в инженерных расчетах.

Наибольшее применение при расчетах на прочность оборудования для переработки пластмасс нашла гипотеза наибольших касательных напряжений (третья гипотеза прочности). В основе этой гипотезы лежит предположение, что основной причиной появления опасного состояния материала являются наибольшие касательные напряжения. Следовательно, критерием прочности является т_тах.

Условие прочности с учетом (1.61) записывают следующим образом:

Третья гипотеза прочности дает хорошие результаты применительно к пластичным материалам, одинаково работающим на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего главного напряжения а₂, которое оказывает некоторое влияние на прочность материала. Кроме того, когда о,? а₂ — о₃ — а > 0, то а¹«^ - 0 и материал согласно этой гипотезе никогда не разрушится, что противоречит опытам.

Гипотеза удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая гипотеза прочности) также называется энергетической гипотезой прочности или гипотезой Губера-Мизеса.

Поскольку при пластическом деформировании объем материала не изменяется, то в качестве критерия прочности принимается не вся энергия деформации, а лишь та ее часть, которая связана с изменением формы тела.

Условие прочности можно записать следующим образом:

Так как объем тела не меняется при значении коэффициента Пуассона р — 0,5, то удельную потенциальную энергию формоизменения можно записать в следующем виде:

Допускаемая потенциальная энергия при одноосном напряженном состоянии Таким образом.

Экспериментальные данные удовлетворительно согласуются с результатами, полученными при использовании четвертой гипотезы прочности, для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Для хрупких материалов эта гипотеза неприменима.

Расчеты по четвертой гипотезе прочности несколько точнее, так как учитывают все компоненты напряженного состояния, но более громоздки. Однако расчетные значения а^{, м} и o^{, v} отличаются ненамного.

ЭКИ ЭКИ Теория прочности, обобщающая третью гипотезу прочности на случаи, когда [о]_р*[а]_с, носит название гипотезы прочности Мора и имеет вид.

где [о)_р — допускаемое напряжение при одноосном растяжении; k — <�г_гр/о_тс для пластичных материалов и k = о — для хрупких материалов; <�г_тр и о_вр — предел текучести и предел прочности при растяжении; а_гс ио_к— при сжатии.

Гипотеза Мора рассматривается и как гипотеза пластичности, и как гипотеза разрушения.

Для хрупких материалов гипотеза Мора дает удовлетворительные результаты, хотя материал «работает» с некоторой недогрузкой. Наилучшие результаты получаются по этой гипотезе при а, > 0 и о₃ > 0. Недостатком этой гипотезы так же, как и третьей, является игнорирование а₂.