Принятие решений на основе метода анализа иерархий

Метод анализа проблемных ситуаций Т. Саати, предложенный в работах «Принятие решений. Метод анализа иерархий», «Принятие решений при зависимостях и обратных связях: Аналитические сети», основан на специальной процедуре попарных сравнений альтернатив и показателей и может быть использован для принятия сложных хозяйственных решений в различных ситуациях хозяйственной деятельности.

Данный метод можно описать следующим образом. Допустим, заданы элементы определенного уровня иерархии и один элемент X следующего, более высокого уровня. Нужно сравнить элементы данного уровня попарно по силе их влияния на X, поместить числа, отражающие достигнутое при сравнении согласие во мнениях, в матрицу и найти собственный вектор с наибольшим собственным значением. Собственный вектор обеспечивает упорядочение приоритетов, а собственное значение является мерой согласованности суждений.

Рассмотрим следующий пример. Пусть А, В, С и D обозначают объекты, которые нужно сравнить по степени их предпочтительности для некоторого субъекта. Осуществляется попарное сравнение всех объектов. Имеем матрицу попарных сравнений для четырех строк и четырех столбцов (табл. 18.1).

Таблица 18.1

Матрица попарных сравнений

Числа, которые заносятся в матрицу, например для АиВ, определяются следующим образом^[1]:

• • если, А и В одинаково важны, заносим 1 в позицию (А, В), где пересекаются строка, А и столбец В;
• • если, А незначительно важнее, чем В, заносим 3;
• • если, А значительно важнее В, заносим 5;
• • если, А явно важнее В, заносим 7;
• • если, А по своей значительности абсолютно превосходит В, заносим 9.

При сравнении элемента с самим собой имеем равную значительность, так что на пересечении строки, А со столбцом, А в позиции (А, А) заносим 1. Поэтому главная диагональ матрицы должна состоять из единиц. Заносим соответствующие обратные величины: 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9 на пересечениях столбца, А и строки В, т. е. в позицию (В, А) для обратного сравнения В с А. Числа 2, 4, 6, 8 и их обратные величины используются в том случае, если есть небольшие отклонения в основных суждениях.

Под согласованностью суждений понимается возможность логически вывести одни суждения из других.

Для проведения парных сравнений п объектов или действий при условии, что каждый объект или действие представлены в данных по крайней мере один раз, требуется (п — 1) суждений о парных сравнениях.

Насколько плоха согласованность для определенной задачи, можно оценить путем сравнения полученного нами значения величины (Яшах — п): (п — 1) с ее значением из случайно выбранных суждений и соответствующих обратных величин матрицы того же размера.

Поясним сказанное на примере. В матрице для чисел имеется 16 полей. Четыре из них уже определены, а именно те, что находятся на диагонали (А, А), (В, В), (С, С), (D, D) и равны единице. Для оставшихся после заполнения диагонали 12 чисел нужно провести шесть сравнений, поскольку остальные шесть являются обратными сравнениями и их оценки должны быть обратными величинами к оценкам первых шести. Допустим, что человек, используя рекомендованную шкалу, вносит число 4 в позицию (В, С), так как полагает, что для него предпочтительность объекта В по сравнению с объектом С находится между слабой и сильной. Тогда в позицию (С, В) автоматически заносится обратная величина, т. е. ¼, что необязательно, но в общем случае рационально. После проведения оставшихся пяти суждений, а также занесения их обратных величин для всей матрицы получим табл. 18.2.

Таблица 18.2

Заполненная матрица парных сравнений

Следующий шаг состоит в вычислении вектора приоритетов по данной матрице. В математических терминах это вычисление главного собственного вектора, который после нормализации становится вектором приоритетов.

В отсутствие компьютера, позволяющего точно решить данную задачу, можно получить грубые оценки вектора приоритетов следующими четырьмя способами, которые представлены ниже в порядке увеличения точности оценок.

• 1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на сумму всех элементов. Сумма полученных результатов будет равна единице. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта, второй — второго объекта и т. д.
• 2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные величины этих сумм. Нормализовать их так, чтобы их сумма равнялась единице, разделить каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.
• 3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца (т.е. нормализовать столбец), затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов строки. Это процесс усреднения по нормализованным столбцам.
• 4. Умножить п элементов каждой строки и извлечь корень п-й степени. Нормализовать полученные числа.

Приведем метод получения грубой оценки согласованности. Умножив матрицу сравнений справа на полученную оценку вектора решения, получим новый вектор. Разделив первую компоненту этого вектора на первую компоненту оценки вектора решения, вторую компоненту нового вектора — на вторую компоненту оценки вектора решения и т. д., определим еще один вектор. Разделив сумму компонент этого вектора на число компонент, найдем приближение к числу А_тах (называемому максимальным, или главным, собственным значением), используемому для оценки согласованности, отражающей пропорциональность предпочтений. Чем ближе А_тах к п (числу объектов или видов действия в матрице), тем более согласован результат.

Отклонение от согласованности может быть выражено величиной (А_тах — n): (п — 1), которую называют индексом согласованности (ИС). Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратно симметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов называют случайным индексом (СИ).

Ниже представлены порядок матрицы (первая строка) и средние СИ (вторая строка), определенные так, как описано выше (табл. 18.3).

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы того же порядка называется отношением согласованности (ОС). Значение ОС, меньшее или равное 0,10, считается приемлемым.

Таблица 18.3

Случайные индексы для матриц различных порядков

Чтобы проиллюстрировать на примере наши приближенные вычисления ИС, для нахождения Л_тах используем приведенную выше матрицу и третий вектор-столбец, полученный методом 3. После умножения матрицы справа на вектор приоритетов (0,59; 0,25; 0,11; 0,05), имеем вектор-столбец (2,85; 11,11; 0,47; 0,20). Разделив компоненты этого вектора на соответствующие компоненты первого вектора, получим (4,83; 4,44; 4,28; 4,00), а в результате усреднения последних — Л_тах = 4,39. Отсюда.

Для определения того, насколько хорош этот результат, разделим его на соответствующий СИ = 0,90. Отношение согласованности.

что не так уж близко к 0,10.

Эти сравнения и вычисления устанавливают приоритеты элементов некоторого уровня иерархии относительно одного элемента следующего уровня. Если уровней больше, чем два, то различные векторы приоритетов могут быть объединены в матрицы приоритетов, из которых определяется один окончательный вектор приоритетов для нижнего уровня.

Метод анализа иерархий позволяет принимать решения в условиях слабой формализуемости признаков, что в экономике встречается очень часто.

Вопросы и задания для самоконтроля

• 1. Раскройте суть метода парных сравнений.
• 2. Что понимается под согласованностью суждений?
• 3. Как вычислить индекс согласованности и отношение согласованности?
• 4. Какие можно сделать выводы на основе полученного значения показателя отношения согласованности?

• [1] См. Caamu Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993.