Структурные средние. 
Теория статистики

Как было показано в предыдущем параграфе, для того чтобы рассчитать среднюю степенную, необходимо иметь информацию и данные не только о значениях признака, но и о величине веса признака. Весьма часто при проведении экономического анализа полная информация о значениях признака и (или) весах не всегда доступна. Поэтому в данном случае используют расчет структурных средних. С использованием структурных средних показателей характеризуется структура статистических рядов распределения. К структурным средним показателям относят показатели моды и медианы.

Варианта (значение признака), наиболее часто встречающаяся среди анализируемой статистической совокупности, называется модой (Мо). При наличии двух и более модальных значений статистическая совокупность является неоднородной. В дискретном ряду распределения мода представляет собой варианту, которая имеет максимальное значение частоты.

Рассмотрим определение модального значения на основе дискретного ряда распределения.

Пример 4.7.

В таблице представлен дискретный ряд распределения объемов реализации количества нар обуви в магазине с учетом размера пары обуви (размер обуви в данном случае — признак совокупности). Необходимо определить модальное значение.

Согласно данным максимальная частота составляет значение 88 (купленных пар обуви). Для этой частоты имеется модальное значение признака 37 (обувь 37-го размера, которой было куплено 88 пар).

Это означает, что наибольшим спросом у покупателей пользуется обувь 37-го размера, поскольку ее покупают чаще других.

В интервальном ряду распределения модой считается центральная варианта так называемого модального интервала, т. е. интервала, имеющего максимальную частоту.

В интервальном ряду распределения с равными интервалами мода исчисляется по следующей формуле:

где Х_Мо — нижняя граница модального интервала; i_Mo — величина интервала; /_Мо — частота модального интервала; /м₀— ~ частота интервала, предшествующего модальному интервалу;/_Мо+1 — частота интервала, следующего за модальным интервалом.

Рассмотрим расчет модального значения интервального ряда на практическом примере.

Пример 4.8.

Имеются данные об интервальном ряде распределения предприятий по объему производства продукции, необходимо определить моду интервального ряда.

Максимальная частота в данном случае определяется по количеству предприятий, следовательно, максимальная частота равна семи, отсюда модальный интервал — это интервал от 8,2 млн до 9,8 млн руб. На основании формулы (4.5) производим расчет моды:

Итак, модальное значение интервального ряда распределения составляет порядка 9 млн руб.

Медианой (Me) принято называть значение варьирующего признака, делящего ранжированный ряд данных на две равные части. Соответственно, у половины единиц статистической совокупности будет значение признака меньше медианы, у другой половины — больше медианы.

При расчете медианы по несгруппированным данным первоначально эти данные необходимо расположить в возрастающем порядке (т.е. провести ранжирование). После этого необходимо определить номер единицы совокупности, значение признака у которой и будет медианой. Когда статистическая совокупность характеризуется небольшим объемом, данный номер определяют визуально; если статистическая совокупность большая, то здесь используют формулу для определения номера единицы, который и будет являться медианой:

Допустим, что имеются данные о стаже продавцов (всего семь продавцов), которые можно представить в виде ранжированного ряда:

1, 2, 2, 3, 5, 7, 10 (стаж, лет).

Тогда, на основании формулы (4.6) получаем, что номер единицы, который будет медианой ранжированного ряда, составит 4 (п + 1 = 8: 2 = 4). Следовательно, медианой данного ранжированного ряда является значение 3 года (это четвертый по счету показатель в ранжированном ряду).

Выше был приведен пример расчета медианы, при котором номер единицы медианного значения рассчитывается на основании четного числа. В том случае, когда номер единицы медианного значения рассчитывается из нечетного числа, медиану рассчитывают как среднее арифметическое двух рядом стоящих вариант, которые наиболее близки к рассчитанному номеру единицы. Рассмотрим на примере.

Пример 4.9.

Пусть имеются данные о стаже работников (всего восемь работников) в виде ранжированного ряда 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 10 (стаж, лет). Тогда на основании формулы (4.6) получаем, что номер единицы медианного значения будет 4,5 (п + 1=9:2 = 4,5). Тогда медиана будет средней арифметической из варианты, которая стоит четвертой в ранжированном ряду (стаж 3 года), и варианты, которая стоит пятой в ранжированном ряду (стаж 4 года), т. е. медианное значение стажа работников составит 3,5 года.

Если медиана рассчитывается для дискретного ряда распределения (см. пример 4.7, где за ранжированный ряд принят ряд накопленной частоты), то, соответственно, номер единицы медианного значения определится следующим образом: N_Me = =(149 + 1): 2 = 75 (пар), наиболее близкое к данному номеру значение составляет 88 (пар). Следовательно, в данном случае мода и медиана совпадают.

Расчет медианы для интервального ряда распределения строится на основании следующих шагов:

• 1) для каждого интервала в ряду распределения рассчитывается накопленная частота (см. таблицу из примера 4.8, графа 3);
• 2) определяется медианный интервал, медианным интервалом является тот интервал, накопленная частота которого больше или равна ½ численности единиц совокупности. В примере 4.8 это интервал от 8,2 млн до 9,8 млн руб., накопленная частота этого интервала 14, что больше половины совокупности (вся совокупность 25 ед., половина совокупности — это 12,5 ед.);
• 3) рассчитывается значение медианы на основании формулы

где Х_Ме — нижняя граница медианного интервала; i_Me — величина медианного интервала; fi — частота /-го интервала; S_Me__t — накопленная частота интервала, предшествующего медианному интервалу; {_ш — частота медианного интервала.

Рассмотрим расчет медианы для интервального ряда на практическом примере.

Пример 4.10.

В примере 4.8 представлены данные по интервальному ряду распределения предприятий по объему производства продукции. Необходимо рассчитать на основании интервального ряда его медианное значение.

Нижняя граница медианного интервала согласно данным примера 4.7 составляет значение 8,2 млн руб.

Величина медианного интервала составляет 1,6 млн руб. (9,8 — 8,2 = 1,6 млн руб.).

Суммарная частота по интервалу (т.е. сумма накопленных i-x частот) — 25 сд.

Медианный интервал равен 14, соответственно, значение, которое предшествует медианному интервалу, составляет 7 (это и есть накопленная частота интервала, предшествующего медианному интервалу).

С учетом полученных выше данных расчет медианного значения для интервального ряда распределения на примере 4.8 выглядит следующим образом:

Аналогичным образом вычисляются значения признака, которые делят статистическую совокупность более чем на две равные части, например на квартили (на четыре части), квиптели (на пять частей), перцители (на десять частей).

Показатели средней арифметической, моды и медианы являются показателями центра статистического ряда распределения. При решении конкретных практических задач предпочтение может быть отдано любому из этих показателей.

В тех рядах распределения, которые являются симметричными (т.е. в которых частоты любых двух вариант, равноотстоящих от центра распределения, равны между собой) и все три показателя совпадают между собой (мода = медиана = средняя арифметическая ряда), при решении практических задач предпочтение отдается расчету значения средней арифметической. В тех рядах распределения, которые асимметричны, расчет центра ряда распределения лучше всего основывать на расчете медианы, поскольку медиана занимает положение между средним арифметическим значением ряда и его модой.

Для решения практических задач, связанных с контролем качества продукции на основе статистического инструментария, используют, как правило, расчет медианного значения ряда распределения, поскольку этот расчет не чувствителен к крайним значениям взятых контрольных проб.

В свою очередь, модальные значения ряда распределения оптимально использовать для изучения параметров спроса населения на товары потребительского назначения. Это позволяет наилучшим образом выявлять потребительские предпочтения по моделям, фасонам, техническим и прочим характеристикам товарной продукции.