Декомпозиция моделей оптимального планирования

Общие положения

Целью выполнения этой части работы является изучение вопроса оптимальной декомпозиции экономической системы и приобретения практических навыков декомпозиции простейших задач для условий нейтрального научно-технического прогресса.

Разделение (декомпозиция) моделей производится таким образом, чтобы последовательность оптимизационных решений каждой подсистемы давала оптимальное решение для всей системы в целом.

При рассмотрении метода декомпозиции будем исследовать двухуровневую систему. Верхний уровень назовем центром, нижний — подсистемами. При этом предполагаем, что каждая подсистема является также как минимум двухуровневой системой. На рис. 5 представлен вид рассматриваемой системы.

Рис. 5.

Для удобства и простоты представления модели можно горизонтальные связи между подсистемами перенести на уровень центра. Экономически это означает, что центр не только распределяет централизованные ресурсы (вертикальные связи), но и решает вопросы о всех поставках между подсистемами (горизонтальные связи). Тогда структура экономической системы будет иметь только обобщенные вертикальные связи (рис. 6).

Рис. 6

Рассмотрим характеристики данной системы.

Каждая подсистема выпускает продукцию различной номенклатуры. В модели это характеризуется номенклатурным вектором.

х_К = (х_К1, х_К2, …, х_Кm), где.

к — индекс подсистемы;

j — индекс продукции подсистемы;

x_кj — кол-во j-й продукции к-й подсистемы.

Эти величины и нужно определить.

Нормативы затрат различных ресурсов на производство единицы продукции считаются известными. При этом ресурсы системы подразделяются на:

централизованно распределяемые;

собственные ресурсы подсистемы.

g^l_kj — норма расхода I — го ресурса, распределяемого централизованно, для производства j-ой продукции к-ой подсистемы.

• — потребность в I — ом централизованном ресурсе для к-ой подсистемы, на производство продукции всей к-ой подсистемы.
• — норма расхода к-ой подсистемы на единицу j-ой продукции к-ой подсистемы.

— потребность в p-ом собственном ресурсе для к-ой подсистемы.

Как централизованные, так и собственные ресурсы ограничены. Обозначим: b' — количество I -го централизованного ресурса в системе;

b^p_k — количество p-го собственного ресурса у к-ой подсистемы.

Экономическая система должна функционировать в соответствии с некоторым критерием оптимальности, то есть в модели должна быть определена целевая функция (ЦФ).

Одним из распространенных критериев в экономических системах является целевая функция полезности (ЦФП). В этой ЦФ численно определяется полезность единицы каждой продукции, то есть известно: C_kj — полезность j-ой продукции к-ой подсистемы. Тогда ЦФП каждой подсистемы имеет следующий вид:

.

Отсюда общая модель системы, максимизирующая суммарную полезность деятельности всей экономической системы при ограниченных ресурсах, имеет вид:

В такой постановке модель имеет блочную структуру, но размерность такова, что решить ее невозможно. Поэтому поиск оптимального решения следует осуществить с помощью метода декомпозиции.