Энергия, переносимая волной. 
Стоячие волны

При изучении механических колебаний было установлено, что полная энергия колебаний гармонического осциллятора W = mщ2A2/2, где, А — амплитуда колебания, (см. формулу (3.14)). Именно эта энергия переносится волной посредством возбуждения колебаний близлежащих частиц. Более полной характеристикой процесса переноса энергии волной является вектор плотности потока энергии волны j, который определяет количество энергии, переносимое волной через единицу площади в одну секунду в направлении ее распространения. Если v — скорость волны, то за время t через площадку S, перпендикулярную направлению распространения, переносится количество энергии:

.

где w — плотность энергии, заключенной в объеме V.

Разделив это выражение на St, получим величину плотности потока энергии:

j = wv.(3.58).

Наконец, если ввести вектор, равный по величине фазовой скорости волны и направленный вдоль волнового вектора (3.55), получим выражение для вектора плотности потока энергии:

.(3.59).

Следовательно, направление вектора плотности потока энергии совпадает с направлением распространения волны.

Вектор (3.59) называется вектором Умова-Пойнтинга. Он является важной характеристикой переноса энергии волной я сохраняет свое значение и в тех случаях, когда речь идет не только о колебаниях частиц, но и о волновом процессе изменения любых физических величин, например температуры, электрического или магнитного полей.

Необычное перераспределение энергии колебаний происходит при наложении двух волн, бегущих навстречу друг другу, в том случае, когда разность фаз между волнами в процессе распространения волн остается постоянной. Такая ситуация реализуется при отражении бегущей волны от препятствия, например, при возбуждении упругой волны в струне, один из концов которой закреплен. При этом возникает отраженная волна, бегущая навстречу первой. Пусть для простоты начальные фазы обеих волн равны нулю. Тогда результирующая волна будет суммой двух волн, бегущих в противоположных направлениях:

u1 = u0 cos (щt — kx), u0 = u0 cos (щt + kx).(3.60).

Сложив эти уравнения и преобразовав результат сложения по формуле для суммы косинусов, получим:

u = u1 + u0 = 2u0cos kxcos щt.(3.61).

Заметим, что в результате наложения волн характер колебаний существенно изменился. Колебания во всех точках происходят одновременно с одинаковой частотой щ. Иными словами, вся система колеблется как целое, причем передачи энергии в процессе колебаний от одной точки к другой не происходит. Каждая частица колеблется так, как это происходит при обычных колебаниях — в момент времени, когда ее смещение максимально, максимальна ее потенциальная энергия и минимальна кинетическая, и наоборот. В каждый момент времени система частиц образует в пространстве периодическую структуру, форма которой определяется амплитудным множителем в выражении (3.61):

A (x) = 2u0 coskx. В точках x = ±2n/4 (n = 0, 1, 2,.)(3.62).

амплитуда колебаний наибольшая, а в точках.

x=±(2n+1)/4(3.63).

она равна нулю. Эти точки называют соответственно пучностями и узлами волны. Узлы и пучности волны расположены друг от друга на расстоянии /4.

Описанную картину колебаний во встречных бегущих волнах называют стоячей волной. Ясно, что в замкнутом объеме, где бегущая волна испытывает отражение от обеих границ, устанавливается стоячая волна.

Колебания струны (стержня).

В натянутой струне, закрепленной с обоих концов, при возбуждении какого-либо произвольного поперечного возмущения возникнет довольно сложное нестационарное движение. Стационарное же движение в виде стоячей волны возможно лишь при вполне определенных частотах. Это связано с тем, что на закрепленных концах струны должны выполняться определенные граничные условия: в них смещение u все время должно равняться нулю. Значит, если в струне возбуждается стоячая волна, то концы струны должны быть ее узлами. Отсюда следует, что на длине струны должно укладываться целое число п полуволн: = n? л/2. Из этого условия находим возможные длины волн:

n = 2/n, n = 1,2,…Соответствующие частоты ,.

где v — фазовая скорость волны, определяемая, согласно (1.30), силой F натяжения струны и линейной плотностью с т. е. массой единицы ее длины.

Частоты нn называют собственными частотами струны. Частоту н1 (n=1) называют основной частотой, остальные н2, н3, … — обертонами. Гармонические колебания с частотами (1.57) называют собственными колебаниями, или гармониками. В общем случае колебания струны представляют собой суперпозицию различных гармоник (спектр).

Колебания струны примечательны тем, что в рамках классической физики возникает дискретный спектр одной из величин (частоты). Такая дискретность для классической физики является исключением, в отличие от квантовой физики.

Приведенные выше соображения относятся не только к струне, но и к стержням, закрепленным различным образом — в середине, на одном конце и т. д. Отличие заключается лишь в том, что свободный конец стержня является пучностью. Это касается как поперечных, так и продольных колебаний.

Пример. Найдем собственные частоты стержня, закрепленного на одном конце, если длина стержня, модуль Юнга материала стержня E и его плотность с.

Поскольку свободный конец стержня должен быть пучностью, на длине стержня установится целое число полуволн и еще четверть волны, т. е. = nл/2 + л/4 = (2n + 1) л/4. Отсюда найдем возможные значения лn, а затем, учитывая (1.26), и собственные частоты:

n=0,1,2,…

Эффект Доплера для звуковых волн Пусть источник, находящийся в газе или жидкости, испускает короткие импульсы с частотой н. Если источник и приемник покоятся относительно среды, в которой распространяется волна, то частота воспринимаемых приемником импульсов будет равна частоте н источника. Если же источник, или приемник, или оба движутся относительно среды, то частота н', воспринимаемая приемником, вообще говоря, оказывается отличной от частоты источника: н' н. Это явление называют эффектом Доплера.

Сначала рассмотрим случай, когда источник S и приемник P движутся вдоль проходящей через них прямой с постоянными скоростями u и u' соответственно (относительно среды).

Если бы двигался только источник навстречу приемнику, испуская импульсы с периодом T = 1/н, то за это время очередной импульс пройдет относительно среды расстояние л = v•T, где v — скорость волн в среде, и пока будет испущен следующий импульс, источник «нагонит» предыдущий импульс на расстояние uT. Таким образом, расстояние между импульсами в среде станет равным л' = vT — uT (рис.), и воспринимаемая неподвижным приемником частота (число импульсов за единицу времени).

.

Если же движется и приемник (пусть тоже навстречу источнику, то импульсы относительно приемника будут иметь скорость v + u', и число воспринимаемых за единицу времени импульсов.

.

Нетрудно сообразить, что при движении как источника, так и приемника в противоположных направлениях, знаки перед u' и u надо поменять на обратные. Еще раз подчеркнем, что скорости u' и u — это скорости приемника и источника относительно среды.

Как видно из приведенных рассуждений, эффект Доплера является следствием «уплотнения» (или разряжения) импульсов, обусловленным движением источника и приемника.

Формулу целесообразнее записать в иной форме, более общей и более простой для запоминания и использования:

u’x и ux — проекции скоростей приемника и источника на ось X, проходящую через них и положительное направление которой совпадает с направлением распространения импульсов, т. е. от источника S к приемнику P.

Прежде чем продолжить обсуждение возможностей выражения (1.60), приведем два простых примера.

Пример 1. Источник S и приемник P удаляются друг от друга по одной прямой в противоположные стороны относительно среды со скоростями u и u'. Частота источника н, скорость сигналов в среде v. Найдем частоту v', воспринимаемую приемником.

В данном случае проекция скорости приемника на ось X есть u’х = u', а проекция скорости источника ux = -u. Подставив эти величины в формулу (1.60), получим н' = н (v — u')/(v + u).

Пример 2. Источник S, испускающий сигналы с частотой н, движется с постоянной скоростью us относительно приемника P, установленного на башне (рис.). При этом воздушная масса перемещается относительно земной поверхности вправо с постоянной скоростью u0 (ветер). Скорость звука в воздухе v. Найдем частоту v', воспринимаемую приемником.

Имея в виду, что в формулу входят скорости относительно среды, запишем: проекция скорости приемника u’х = - u0, а проекция скорости источника uх = us — u0. Обе проекции взяты, как должно быть, на ось X, направленную вправо. Остается подставить эти проекции в формулу (1.60), и мы получим: