Рациональные числа. 
Математика

Выясним, как обстоит дело с делением, иначе говоря, проверим «достаточно» ли натуральных чисел, для того чтобы определить отношения % и —, если а е N, b е N?

о а

Простые примеры показывают, что это далеко нс так. Па;

15 3.

пример, — - 5, а — - ?

3 1Э Приведем простую задачу из жизни, требующую выполнения деления.

Пример 1.5.

Пусть студент получает стипендию в размере 500 руб., магистрант — 750 руб., а аспирант — 1000 руб. Во сколько раз студент получает меньше аспиранта и магистранта?

Решение

Обозначим искомое отношение через п. Имеем:

в первом случае п =

во втором случае п =

• 1000
• 500
• 750
• 500

= 2;

= ?

Таким образом, для описания простых жизненных ситуаций одних только целых чисел «недостаточно».

Поэтому возникает потребность расширить множество целых чисел до множества рациональных (дробных) чисел

Q — это числа вида т^€ & где a, b g Z, b ^ 0.

На множестве рациональных чисел можно выполнять арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление. Если а е Q, b е Q, то:

Возвращаясь к примеру 1.5, мы можем теперь найти от;

750 3.

вет и во втором случае: п = —— = —, т. е. стипендия сту;

JUU Z.

дента в полтора раза меньше, чем магистранта; другими словами, студенческая стипендия составляет ²/з стипендии магистранта.

Вернемся к примеру 1.1.

Решение

1 1.

Учитывая, что 30 мин. = — ч, а 20 мин = — ч, получаем:

115 5.

О -,₊ -, —_ч,²)-,.6−5ч.

Ответ: 5 часов.

Возвращаясь к приведенным выше задачам, запишем их в виде уравнений, сведя в таблицу:

Таблица 1.1

При таком подходе явственно проступает принципиальное алгебраическое различие этих задач.

В первом примере по двум слагаемым нужно найти сумму.

Во втором примере по двум сомножителям нужно найти произведение.

В следующих трех примерах по одному из слагаемых и сумме нужно определить второе слагаемое — это действие обратно сложению.

Вычитание — операция, обратная сложению.

В двух последних примерах по одному из сомножителей и произведению нужно определить второй сомножитель — это действие обратно умножению.

Деление — операция, обратная умножению.

Обратим внимание на то обстоятельство, что при таком взгляде оба расширения числовых множеств: N —> Z —" Q преследовали идентичные цели: сделать возможными обратные операции.