Интересные примеры в метрических пространствах

Интересные примеры

в метрических пространствах:

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с ребром, то вершины этих кубиков будут образовывать конечнуюсеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри этого куба.

Единичная сфера S в пространстве l₂ дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим в S точки вида:

е₁=(1, 0, 0, …, 0, 0, …),

е₂=(0, 1, 0, …, 0, 0, …),

…,

е_n=(0, 0, 0, …, 1, 0, …),

…

Расстояние между любыми двумя точками е_n и е_м (nm) равно. Поэтому последовательность {е_i} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не может быть конечнойсети ни при каком <2/2.

Рассмотрим в l₂ множество П точек

x=(x₁, x₂,, x_n, …),

удовлетворяющих условиям:

| x₁|1, | x₂|½, ,| x_n|½^n-1, …

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым кирпичем») пространства l₂. Оно представляет собой пример бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной ограниченности поступим следующим образом.

Пусть >0 задано. Выберем n так, что ½^n-1</2. Каждой точке x=(x₁, x₂,, x_n, …)

из П сопоставим точку x*=(x₁, x₂,, x_n, 0, 0, …)

из того же множества. При этом

(x, x*)<½^n-1</2.

Множество П* точек вида x*=(x₁, x₂,, x_n, 0, 0, …) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную /2-сеть. Она будет в то же времясетью во всем П. Докажем это.

Доказательство: для, выберем n так, что ½^n-1</2.

xП: x=(x₁, x₂,, x_n, …) сопоставим

x*=(x₁, x₂,, x_n, 0, 0, …) и x*П. При этом (x, x*)</2. Из пространства П выберем x**: (x*, x**)</2.

Тогда: (x, x**)(x, x*)+(x*, x**)</2+/2=.

Множество П* содержит точки вида x*=(x₁, x₂,, x_n, 0, 0, …), в этом множестве выберем конечную /2-сеть. Она будетсетью в пространстве П, так как (x, x**)<.