Отображение барта пространства модулей стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости

Актуальность темы

Цели работы.

Пространства модулей, т. е. классов изоморфизма алгебраических векторных расслоений ранга 2 на проективной плоскости р2 и их компактификации являются объектом пристального внимания алгебраических геометров в течение последних трех десятилетий, начиная со знаменитых работ В. Барта [2], [3] и последующих статей Ж. Ле Потье [И], К. Хулека [7], М. Маруямы [18], [19], Г. Эллингсруда и С. Стрёмме [5] и целого ряда других авторов вплоть до настоящего времени. Это обусловлено с одной стороны богатой геометрией самих этих многообразий, обозначаемых ниже через M^{ci, n) (где с — О или —1 — первый класс Чжэня, а п > 2 — второй класс Чжэня расслоения), а с другой стороны многочисленными приложениями этих многообразий в других вопросах алгебраической геометрии и смежных областях. В частности, при вычислении коэффициентов полиномов Дональдсона проективной плоскости Р2, являющимися универсальными константами гладкой структуры на Р2, возникает вопрос об инъективности отображения Барта (рп многообразия Мрг (0, п) (случай с = 0) в пространство рп (п+3)/2 плоских кривых степени п, сопоставляющего классу [Е] изоморфизма расслоения Е кривую прямых подскока С (Е) расслоения Е, т. е. прямых, ограничение на которые расслоения Е нетривиально. Гипотезе об инъективности в общей точке отображения (рп при п > 4, возникшей в конце 80-ых гг., посвящена серия работ JTe Потье [12], [13], [14]. В 1999 г. А. С. Тихомиров в препринте [22] предложил индукционную процедуру для доказательства этой гипотезы. Окончательное доказательство гипотезы об инъективности в общей точке отображения <рп было дано в 2001 г. в статье JTe Потье и Тихомирова [17].

В 2002 г. А. С. Тихомиров сформулировал аналог предыдущей гипотезы для случая с = —1. В этом случае, как следует из работы К. Хулека [7], аналогом кривой прямых подскока расслоения Е является кривая С (Е) в Р2 двойных прямых подскока расслоения Ездесь под двойной прямой I на Р2 понимается схема № с двойной структурой на I, т. е. подсхема в Р2, задаваемая пучком идеалов Тр)^ := соответственно, схема № называется двойной прямой подскока расслоения Е, если h°(E№) ф 0. Как показал К. Хулек в [7], кривая С (Е) имеет степень 2п — 2, так что мы получаем отображение: [Е] иС (Е) многообразия Мра (-1,п) в пространство p (n1)(2n+1) плоских кривых степени 2п — 2 в Р2. Это отображение, называемое по аналогии со случаем с = 0 отображением Барта, продолжается до морфизма <рп: Мрг (—l, n) -> р (п~1)(2п+1)} где Мрг (—1,п) — замыкание многообразия Мрг (—1,п) по Гизекеру-Маруяме. Согласно гипотезе А. С. Тихомирова, мор-физм ipn является инъективным в общей точке. При п — 2 справедливость этого утверждения очевидна, но уже при п > 3 эта проблема оставалась открытой.

Целью настоящей диссертации является доказательство гипотезы А. С. Тихомирова. Основной результат диссертации — следующая теорема.

Теорема. Морфизм Барта ipn: Mpa (-l, n) -> p («-i)(2» +i): [Щ ^ с (Е) является инъективным в общей точке при п > 2.

Из других результатов диссертации наиболее важными являются следующие:

— для п = 3 дано явное описание отображения Барта <р$ в терминах линейной алгебры и перечислены все слои отображения </?з;

— для п > 3 геометрически выделено плотное открытое подмножество в множестве тех точек в Мрг (—1, п), в которых отображение (рп квазиконечно;

— для п > 3 описана геометрия отображения ipn и его дифференциала в общей точке границы многообразия Мрг (—1,п), состоящей из классов нелокально свободных пучков.

Методы работы и научная новизна.

При изучении используется геометрия открытого подмножества D границы компактификации Гизекера-Маруямы Мрг (—1,п) многообразия Мрг (—1,п), состоящего из классов стабильных пучков без кручения с простой особенностью в единственной точке. При исследовании морфизма ipn в окрестности дивизора D применяются методы бирациональной и пучковой геометрии, в том числе конструкция Серра и техника идеалов Фиттинга, и используются свойства специальных подмногообразий многообразия Мрг (—1,п). Основной инструмент исследования — разложение Штейна <рп — vn-^pn морфизма Барта (рп в композицию стягивания (рп и конечного морфизма ип. Для описания дифференциала dvn морфизма ип в точках многообразия.

Все полученные в работе результаты являются новыми.

Практическая и теоретическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении геометрических свойств многообразий модулей стабильных когерентных пучков на проективной плоскости и других рациональных поверхностях.

Апробация.

Результаты диссертации докладывались на семинаре по алгебраической геометрии при кафедре алгебры Ярославского государственного педагогического университета им. К. Д. Ушинского, на научных конференциях «Чтения Ушинского» (Ярославль, 2004 — 2007 гг.), на научной конференции «Студенты и молодые ученые КГТУ — производству» (Кострома, 20 — 22 апреля 2005 года), на Международной научной конференции «Колмогоровские чтенияV» (Ярославль, 2007 г.).

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [27], [28], [29].

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст диссертации изложен на 75 страницах.

Список литературы

содержит 29 наименований.

1. Barth W. Moduli of vector bundles on the protective plane. Invent. Math. 42 (1977). P. 63;

2. Barth W. Some properties of stable rank-2 vector bundles on P", Math. Ann. 226(1977), 125;

3. Eisenbud D Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, NY, 1995, 785 pp. Ellingsrud G., Str0mme S.A. On the rationality of the moduli space for stable rank-2 vector bundles on P. Lect. Notes Math. 1273 (1987), 363;

4. Grauert H., Riemenschneider O. Verschwindungssatze fur analytische Kohomologiegruppen auf komplexen Raumen, Invent, math. 11(1970), 263;

5. Hulek K. Stable Rang-2 Vektor Bundles on P with ci Odd, Math.Ann. 242, 241−266 (1979). Kempf G., Knudsen F., Mumford D., Saint-Donat B. Toroidal embeddings I, Lect. Notes Math. 339, Berlin-HeidelbergNY: Springer (1973). Lange H. Universal Families of Extensions, Journal of Algebra 83 (1983), 101−112. Le Potier J A propos de la construction de Iespace de modules des faisceaux semi-stables sur le plan projectif Bull. Soc. math. France, 122(1994), 363−369. 73 [6] [7] [8] [9] [10].

6. Maruyama M. Moduli of stable sheaves generalities and the curves of jumping lines of vector bundles on P, Advanced Studies in Pure Math., I, Alg. Var. and Anal. Var., Kinokuniya and NorthHolland (1983), 1;

7. Reid M. Canonical 3-folds, Algebraic Geometry Angers 1979: Sijthoff and NoordhofT (1980), 273−310. Str0mme S.A. Ample divisors on fine moduli spaces on the projective plane, Math. Z., 187 (1984), 405;

8. Tikhomirov A.S. Barth map of the moduli space of stable rank-2 vector bundles on P. Max-Planck-Institut fur Mathematik, Preprint Series 1999 (9). [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] 74.

9. Матыцина Т. Н. О свойствах стабильных алгебраических пучков ранга 2 на Р", Кострома: Изд-во КГТУ «Студенты и молодые ученые КГТУ производству.» 2005 г.

10. Матыцина Т. Н. Отобраотение Барта пространства модулей Мр2(—l, n) стабильных векторных расслоений ранга два на проективной плоскости. Ц Вестник КГУ им. Н. А. Некрасова. 2006 г. K12 4−12. [25] [26] [27] [28] [29] 75.