ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° y Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ x, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ x, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» X, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ y. Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π΅ΡΡ n-ΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,. ΠΠ°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ?. ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ n Π½Π°ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ… Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠΈΠ½ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΠΈ Π½Π°ΡΠΊΠΈ Π ΠΎΡΡΠΈΠΉΡΠΊΠΎΠΉ Π€Π΅Π΄Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ Π€Π΅Π΄Π΅ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π°Π³Π΅Π½ΡΡΡΠ²ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ.
ΠΠΎΡΡΠ΄Π°ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Ρ Π½ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠΈΡΠ΅Ρ.
ΠΠΠΠΠΠΠΠ
Π ΠΠΠ’ΠΠΠΠ’ΠΠ§ΠΠ‘ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠ.
Π£ΡΠ΅Π±Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠ΅ Π΄Π»Ρ ΡΡΡΠ΄Π΅Π½ΡΠΎΠ² Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠ΅ΠΉ Π·Π°ΠΎΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡ ΠΎΠ±ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π€Π£ΠΠΠ¦ΠΠ― ΠΠΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠ‘ΠΠΠΠ ΠΠΠ ΠΠΠΠΠΠΠ.
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΡ.
ΠΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΠΏΠΎΠ½ΡΡΠΈΠΉ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ. Π§ΠΈΡΠ»Π° ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ ΠΈ Π΄ΡΠΎΠ±Π½ΡΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠ΅ Ρ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ Π½ΠΎΠ»Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ. Π Π°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠ³ΡΡ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½Ρ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΈΠ»ΠΈ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Π§ΠΈΡΠ»Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΡΡΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΡ , Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π΄ΡΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ.
Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΠΈ ΠΈΡΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎΠΌ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ , ΠΈΠ»ΠΈ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ°ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²ΡΠ±ΡΠ°Π½Ρ:
1) Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° Π, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π½Π°ΡΠ°Π»ΠΎΠΌ ΠΎΡΡΡΡΡΠ°;
2) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΡΡΠ΅Π»ΠΊΠΎΠΉ;
3) ΠΌΠ°ΡΡΡΠ°Π± Π΄Π»Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π»ΠΈΠ½.
ΠΠ΅ΠΆΠ΄Ρ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π°ΠΌΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ΅ΠΌΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΠΈΠ΅, Ρ. Π΅. ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΡΠ»Ρ ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΎΡΠΈ ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡΠΎΡ.
ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Π΅ΠΌ) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° x Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ Π xΠ , ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ: Π xΠ = x, Π΅ΡΠ»ΠΈ x? 0, ΠΈ Π xΠ = -x, Π΅ΡΠ»ΠΈ x < 0.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π°, ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ..
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½Π° ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ Π΅Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡΡ Π»ΡΠ±ΡΡ Π΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅. Π§Π°ΡΡΠ½ΡΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠ΅ΠΉ (ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠ΅ΠΉ), Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π΅Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ (ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅) ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ. ΠΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈ ΡΠ±ΡΠ²Π°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡΠΎΠ½Π½ΡΠΌΠΈ. ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ M > 0, ΡΡΠΎ Π²ΡΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π½Π°ΡΠΈΠ½Π°Ρ Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ:
— M? x? M, Ρ. Π΅. Π xΠ ? M.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° y Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ½ΠΎΠΉ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ x, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ x, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ΅ΠΌΡ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Ρ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΠΈΡΠ΅Π» X, ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ y.
ΠΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ x Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠΌ, ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²ΠΎ X — ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΠΈΡΡ y = f(x) ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ y ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ x. ΠΠ½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x) ΠΏΡΠΈ x = a ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°ΡΡ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· f(a)..
ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΠ΅ΠΉΡΠΈΡ ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ: ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» (ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΠΊ) (a, b), Ρ. Π΅. ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ x, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ a < x < b; ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ (ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡΡΡΠΉ ΠΏΡΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡΡΠΎΠΊ), Ρ. Π΅. ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ x, ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ a ? x ? b; ΠΏΠΎΠ»ΡΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» (Ρ.Π΅. a < x ? b) ΠΈΠ»ΠΈ (Ρ.Π΅. a ? x < b); Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠΉ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π» (a, + ?) (Ρ.Π΅. a < x < + ?) ΠΈΠ»ΠΈ (- ?, b) (Ρ.Π΅. —? < x < b) ΠΈΠ»ΠΈ (- ?, + ?) (Ρ.Π΅. —? < x < + ?); ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠΎΠ² ΠΈ Ρ. ΠΏ.
ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = f(x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡΠΈ xOy, ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΡ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ y = f(x)..
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΠ½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π½Π°ΡΠ°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ T, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΡΡΠΎ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ x Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ .
ΠΠ°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠΈΠΌ ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ?, Π΄Π»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ f(x + ?) = f(x) ΠΏΡΠΈ Π»ΡΠ±ΠΎΠΌ x. Π‘Π»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ, ΡΡΠΎ f(x + k?) = f(x), Π³Π΄Π΅ k — Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ ΡΠ΅Π»ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡΡΡΡ:
1) Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ (Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ;
2) Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ (Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°);
3) ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ½ΠΎ (Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΡ), Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ ΡΠ°Π±Π»ΠΈΡΠ° Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠ².
ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡΠΌΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅, Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
1. Π‘ΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ:, Π³Π΄Π΅? — Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ.
2. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ:, Π³Π΄Π΅ a > 0, a? 1.
3. ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ:, Π³Π΄Π΅ a > 0, a? 1.
4. Π’ΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,.
y = sec x, y = cosec x..
5. ΠΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠΈΠ³ΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ:
y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x,.
y = arccosec x.
ΠΡΠ»ΠΈ y ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ u, Π° u Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ x, ΡΠΎ y ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ x. ΠΡΡΡΡ y = F (u), u = ?(x). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° y = F (?(x)). ΠΠΎΡΠ»Π΅Π΄Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y = sin u, u =. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ y = sin () Π΅ΡΡΡ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΡ x.
ΠΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ, ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»ΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° y = f(x), Π³Π΄Π΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ f(x) ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΎ ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΡΡ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΡ ΠΏΡΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° ΠΎΠΏΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΉ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΡ, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ, Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ Π²Π·ΡΡΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, y = Π xΠ =;; .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 1. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°ΠΉΠ΄ΡΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ x = a ΠΈ x = b:
.
Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 2. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΡΡΡΠ½Π°Ρ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π΅ΡΡΡΠ½Π°Ρ:
Π°) Π±); Π²) ;
Π³) .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π°) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, ΡΠΎ.
Ρ.Π΅. f(- x) = - f(x). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΡΡΡΠ½Π°Ρ.
Π±) ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ, Ρ. Π΅.
f (- x) = f (x). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΡΠ½Π°Ρ.
Π²) ΠΠ΄Π΅ΡΡ, Ρ. Π΅.
f(- x) = f(x). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΡΡΠ½Π°Ρ.
Π³) ΠΠ΄Π΅ΡΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π½ΠΈ ΡΡΡΠ½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅ΡΡΡΠ½ΠΎΠΉ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 3. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ 2x — 1? 0, Ρ. Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠ²:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 4. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ x — 1? 0 ΠΈ 1+ x > 0, Ρ. Π΅. Π΅ΡΠ»ΠΈ x? 1 ΠΈ x > - 1. ΠΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡΠΏΠ½ΠΎΡΡΡ Π΄Π²ΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»ΠΎΠ²: (- 1, 1) ΠΈ (1, + ?).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 5. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ΅ ΡΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ Π²Π΅ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΈ 1 -2x? 0, Π° Π²ΡΠΎΡΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡΠ΅ΡΠΈΡΡ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²: ΠΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½Ρ.
.
ΠΠΠ‘Π’Π ΠΠΠΠΠ ΠΠ ΠΠ€ΠΠΠΠ Π€Π£ΠΠΠ¦ΠΠ.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠΌΡ:
Π°) ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ «ΠΏΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ»;
Π±) Π΄Π΅ΠΉΡΡΠ²ΠΈΡ Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ (ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π²ΡΡΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ²);
Π²) ΠΏΡΠ΅ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² (ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³, ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅).
ΠΡΡ ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = f(x), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ:
1) y = f(x - a) — ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠ½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡΠΉ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ Πx Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ a;
2) y = f(x) + b — ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡΡΡΠΉ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ Oy Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ b;
3) y = A Β· f(x) — ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠ°ΡΡΡΠ½ΡΡΡΠΉ Π² A ΡΠ°Π· Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ Oy;
4) y = f(kx) — ΡΠΎΡ ΠΆΠ΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ, ΡΠΆΠ°ΡΡΠΉ Π² k ΡΠ°Π· Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ Ox.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = f(x) ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° .
Π ΠΈΡ. 1.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 6. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = 2x + 1 + cos x.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΡΡΡΠΌ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄Π²ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: y = 2x + 1, y = cos x. ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ, Π΅Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡΠΌ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌ, Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ-ΠΊΠΎΡΠΈΠ½ΡΡΠΎΠΈΠ΄Π° (Π ΠΈΡ. 1).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 7. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΡΠΈ x < 3 Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΡΡ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, Π° ΠΏΡΠΈ x? 3 — Π²Π΅ΡΠ²Ρ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ. ΠΡΠΊΠΎΠΌΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π° ΡΠΈΡ. 2.
Π ΠΈΡ. 2.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 8. ΠΠΎΡΡΡΠΎΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = 2 sin (2x — 1) ΠΈΠ»ΠΈ.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ y = sin x. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = sin 2x ΠΏΡΡΡΠΌ ΡΠΆΠ°ΡΠΈΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ Π°Π±ΡΡΠΈΡΡ Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π°. ΠΠΎΡΠ»Π΅ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΈΠΌ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΡΡΠΌ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ³Π° Π²ΠΏΡΠ°Π²ΠΎ ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ, ΠΈΡΠΊΠΎΠΌΡΠΉ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ y = 2 sin (2x — 1) ΠΏΡΡΡΠΌ ΡΠ°ΡΡΡΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΡΠΈ ΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠ° (3) Π² Π΄Π²Π° ΡΠ°Π·Π° (ΡΠΈΡ. 3).
Π ΠΈΡ. 3.
ΠΠ ΠΠΠΠΠ«.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π²ΡΡΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π°? Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ N, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ n > N.
Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ A Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) ΠΏΡΠΈ x > a, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π΄Π»Ρ Π»ΡΠ±ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΊΠΎΠ»Ρ ΡΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ? > 0 Π½Π°ΠΉΠ΄ΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΎΠ΅? > 0, ΡΡΠΎ Π f(x) — AΠ <? ΠΏΡΠΈ.
.
Π³Π΄Π΅ M — ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ .
Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f(x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈ x > a.
Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΈ x > a..
ΠΡΠ»ΠΈ x < a ΠΈ x > a, ΡΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡΡΡ x > a — 0; Π΅ΡΠ»ΠΈ x > a ΠΈ x > a, ΡΠΎ ΠΏΠΈΡΡΡ x > a + 0.
Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f(x) Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ a.
ΠΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΡ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ°Ρ .
4).
5) ΠΏΡΠΈ ().
ΠΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡΡΡ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ:
1).
2).
ΠΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌ ΡΠΈΡΠ»Π° x ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ e Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°ΡΠΈΡΠΌΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ ln x.
ΠΡΠΈ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²Π°:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 9. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ n>? ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π΅ΡΡ n-ΠΉ ΡΠ»Π΅Π½ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ,. ΠΠ°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π·Π°ΡΠ°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ ?. ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ n Π½Π°ΡΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ, ΡΡΠΎ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ 1/n < ?. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡ n > 1/?. ΠΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ΅ n Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 10. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ n >? ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΡΡΡ 7/3, 10/5,.
13/7,. .. , (3n + 4) /(2n + 1),. .. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎ 3/2.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π΅ΡΡ 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) — 3/2 = 5/. ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, ΠΏΡΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ n Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ.
5/; ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 2(2n + 1) > 5/?, ΡΠΎ n > 5/4? — ½.
ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ²? = 0,1, Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ n > 12 (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ n = 13).
ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ n > 124,5 (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ n = 125).
ΠΠ΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ²ΠΎ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ n > 1249,5 (Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΏΡΠΈ n = 1250).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 11.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ x > 4, ΡΠΎ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ.
5 Β· 4 + 2 = 22, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΊ ΡΠΈΡΠ»Ρ 2 Β· 4 + 3 = 11.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 12.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π§ΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π±Π΅Π·Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΠΎ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡ ΠΏΡΠΈ.
x > ?. Π ΡΠ°ΠΊΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΡΡ, ΡΡΠΎ Π·Π΄Π΅ΡΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° .
Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° x ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 13.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΡΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ ΠΏΡΠΈ.
x > 3 (ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡΠΈΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ½Π½ΠΎΡΡΡ Π²ΠΈΠ΄Π° .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 14.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 15.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π§ΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ 300, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΡΡΠ΅ΠΌΠΈΡΡΡ ΠΊ Π½ΡΠ»Ρ, Ρ. Π΅. ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠ°Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΡΠ±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 16.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΡΡΠΌΠΌΡ.
:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 17.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, ΡΠΎΠ³Π΄Π°.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 18.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 19.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΌΠ΅Π΅ΠΌ.
ΠΠ΄Π΅ΡΡ ΠΌΡ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°ΡΠΎΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ°, ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠ².
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 20.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΡΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Ρ x, Ρ. Π΅. Π½Π° :
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 21.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π½Π° :
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 22.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈ ΡΠ°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°.
:
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 23..
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π΄ΡΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΡΠ΅Π»ΡΡ ΡΠ°ΡΡΡ:
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ-ΡΠΎ ΠΡΠΈΠ½ΡΠ² Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, ΡΡΠΎ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 24. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΏΡΠΈ x > 3.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 25. ΠΠ°ΠΉΡΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈ.
x > a.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠΠΠ ΠΠ Π«ΠΠΠΠ‘Π’Π¬ Π€Π£ΠΠΠ¦ΠΠ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ: 1) ΡΡΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π°; 2) ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ; 3) ΡΡΠΎΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π» ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π°, Ρ. Π΅.
ΠΠ±ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Ρ (ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ°) ΠΈ (ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ°ΠΊ:
ΡΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌΡ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π°ΡΠ³ΡΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΡΠ°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ (ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π°, ΡΠ΅Π³ΠΌΠ΅Π½ΡΠ° ΠΈ Ρ. ΠΏ.), ΡΠΎ ΠΎΠ½Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ.
Π’ΠΎΡΠΊΠ° Π°, ΠΏΡΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΠ°Ρ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡΡΠ°ΡΡΡ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π°, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π² ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π½Π°ΡΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ:
ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ ΡΡΠΈ ΡΠΈΡΠ»Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ, ΡΠΎ Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° I ΡΠΎΠ΄Π°.
Π ΡΠ°ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ, Π΅ΡΠ»ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΉ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ Π° ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ:, Π½ΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π½Ρ, ΡΠΎ Π° Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ ΡΡΡΡΠ°Π½ΠΈΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π°.
Π’ΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π°, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° I ΡΠΎΠ΄Π°, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° II ΡΠΎΠ΄Π°. Π ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° II ΡΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Ρ ΠΎΡΡ Π±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡΠΎΡΠΎΠ½Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ².
Π‘ΡΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°Ρ.
Π§Π°ΡΡΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΡ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π΅ΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π°Ρ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ , Π³Π΄Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Ρ Π½Π΅ ΡΠ°Π²Π΅Π½ Π½ΡΠ»Ρ.
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 26.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° II ΡΠΎΠ΄Π° (ΡΠΈΡ. 4).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 27.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΡΠ°ΠΊ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π»Π΅Π²ΡΠΉ ΠΈ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ, ΠΏΡΠΈΡΡΠΌ ΡΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° I ΡΠΎΠ΄Π°.
Π ΠΈΡ. 4 Π ΠΈΡ. 5.
Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΡΠΌ ΠΈ Π»Π΅Π²ΡΠΌ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° I ΡΠΎΠ΄Π°.
(ΡΠΈΡ. 5).
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 28.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ².
ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΡΠΎΠΊΡΠ°ΡΠ΅Π½Π° Π½Π°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΠΏΡΠΈ.
ΠΠ΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅ΡΡ, ΡΡΠΎ.
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΡΡΡΡΠ°Π½ΠΈΠΌΡΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ². ΠΠ½ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΡΡΠ°Π½ΡΠ½, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ.
ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠ΅Ρ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡΡ x, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ°Ρ ΠΈ. Π ΡΡΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΠΏΡΡΠΌΠ°Ρ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 29. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡ, ΡΡΠΎ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ .
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ.
.
ΠΠ½Π°ΡΠΈΡ, ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ .
ΠΡΠΈΠΌΠ΅Ρ 30. ΠΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΈΡΡ Π³ΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π°.
Π Π΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠ½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΠΏΡΠΈ ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π½ΠΎΠ»Ρ, ΠΈ Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ.
ΠΠ»Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΏΡΠΈ .
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠ»Π΅Π²Π° ΠΈ ΡΠΏΡΠ°Π²Π° ΠΏΡΠΈ ΡΠ°Π²Π½Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΡΠΎΠ±ΠΎΠΉ, Π½ΠΎ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π½Π΅ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π·Π½Π°ΡΠΈΡ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ ΡΡΡΡΠ°Π½ΠΈΠΌΡΠΉ ΡΠ°Π·ΡΡΠ². ΠΡΠ°ΡΠΈΠΊ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠ°Π·ΡΡΠ²Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±ΡΠ°ΠΆΡΠ½ Π½Π° ΡΠΈΡ. 6.
Π ΠΈΡ. 6.
ΠΠΎΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ.