ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² написании студСнчСских Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚
АнтистрСссовый сСрвис

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΈΠ΅ΠŸΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒ Π² Π½Π°ΠΏΠΈΡΠ°Π½ΠΈΠΈΠ£Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ ΡΡ‚ΠΎΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒΠΌΠΎΠ΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° y Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ x, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ x, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ мноТСству Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл X, соотвСтствуСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ y. РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ n-ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,. Π—Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ?. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ n Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ большим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚… Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Ρ‘ >

Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² матСматичСский Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· (Ρ€Π΅Ρ„Π΅Ρ€Π°Ρ‚, курсовая, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½Ρ‚Ρ€ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ)

ΠœΠΈΠ½ΠΈΡΡ‚Π΅Ρ€ΡΡ‚Π²ΠΎ образования ΠΈ Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ Российской Π€Π΅Π΄Π΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π€Π΅Π΄Π΅Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ агСнтство ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ.

ГосударствСнный тСхничСский унивСрситСт.

Π’Π’Π•Π”Π•ΠΠ˜Π•

Π’ ΠœΠΠ’Π•ΠœΠΠ’Π˜Π§Π•Π‘ΠšΠ˜Π™ ΠΠΠΠ›Π˜Π—.

Π£Ρ‡Π΅Π±Π½ΠΎΠ΅ пособиС ΠΏΠΎ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ для студСнтов всСх ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉ Π·Π°ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ обучСния.

ЀУНКЦИЯ ΠžΠ”ΠΠžΠ™ ΠΠ•Π—ΠΠ’Π˜Π‘Π˜ΠœΠžΠ™ ΠŸΠ•Π Π•ΠœΠ•ΠΠΠžΠ™.

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ опрСдСлСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ия.

Одним ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Ρ… понятий ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ являСтся число. Числа Ρ†Π΅Π»Ρ‹Π΅ ΠΈ Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅, вмСстС с Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ноль Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами. Π Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ прСдставлСны Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ бСсконСчных пСриодичСских Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ. Числа, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ бСсконСчных, Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΡ… Π΄Ρ€ΠΎΠ±Π΅ΠΉ, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ ΠΈΡ€Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл называСтся мноТСством Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ…, ΠΈΠ»ΠΈ вСщСствСнных чисСл. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ числовой оси. Числовой осью называСтся бСсконСчная прямая, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Ρ‹:

1) нСкоторая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° О, называСмая Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ отсчёта;

2) ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ стрСлкой;

3) ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π± для измСрСния Π΄Π»ΠΈΠ½.

ΠœΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ всСми Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ числами ΠΈ всСми Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ числовой оси сущСствуСт Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ-ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС, Ρ‚. Π΅. ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌΡƒ числу соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° числовой оси ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚.

ΠΠ±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ) Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа x называСтся Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число Π xΠ , опрСдСляСмоС ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ: Π xΠ  = x, Ссли x? 0, ΠΈ Π xΠ  = -x, Ссли x < 0.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ называСтся Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, которая ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ числСнныС значСния. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, числСнныС значСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ся, называСтся постоянной Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ..

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° называСтся упорядочСнной, Ссли извСстна ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‘ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π΅Ρ‘ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅. Частным случаСм Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ являСтся числовая ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° называСтся Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ (ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ), Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π΅Ρ‘ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ большС (мСньшС) ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ. Π’ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠΎΠ½ΠΎΡ‚ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° называСтся ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ссли сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ постоянноС число M > 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ значСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, начиная с Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ:

— M? x? M, Ρ‚. Π΅. Π xΠ ? M.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° y Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся (ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ) Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ x, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ x, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΌΡƒ мноТСству Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл X, соотвСтствуСт ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ y.

ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Π°Ρ x Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся Π² ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΈΠ»ΠΈ нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ X — ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ y = f(x) ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ y ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ x. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) ΠΏΡ€ΠΈ x = a ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· f(a)..

ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΡ… случаях прСдставляСт собой: ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» (ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ) (a, b), Ρ‚. Π΅. ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ a < x < b; сСгмСнт (ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ), Ρ‚. Π΅. ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ x, ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ a ? x ? b; ΠΏΠΎΠ»ΡƒΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» (Ρ‚.Π΅. a < x ? b) ΠΈΠ»ΠΈ (Ρ‚.Π΅. a ? x < b); бСсконСчный ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π» (a, + ?) (Ρ‚.Π΅. a < x < + ?) ΠΈΠ»ΠΈ (- ?, b) (Ρ‚.Π΅. —? < x < b) ΠΈΠ»ΠΈ (- ?, + ?) (Ρ‚.Π΅. —? < x < + ?); ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ² ΠΈΠ»ΠΈ сСгмСнтов ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) называСтся гСомСтричСскоС мСсто Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ плоскости xOy, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΡƒΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅Ρ‚Π²ΠΎΡ€ΡΡŽΡ‚ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ y = f(x)..

Ѐункция f(x) называСтся Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли для любого значСния x. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ располоТСн симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚. Ѐункция f (x) называСтся Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Ссли для любого значСния x. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ располоТСн симмСтрично ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

Ѐункция f(x) называСтся пСриодичСской, Ссли сущСствуСт Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число T, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для любого значСния x выполняСтся равСнство .

НаимСньшим ΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ называСтся наимСньшСС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ?, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ f(x + ?) = f(x) ΠΏΡ€ΠΈ любом x. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f(x + k?) = f(x), Π³Π΄Π΅ k — любоС Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число.

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‚ΡΡ:

1) аналитичСски (Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹), Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ;

2) графичСски (Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°);

3) Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ (Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹), Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ элСмСнтарными функциями ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅, аналитичСски Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

1. БтСпСнная функция:, Π³Π΄Π΅? — Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число.

2. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция:, Π³Π΄Π΅ a > 0, a? 1.

3. ЛогарифмичСская функция:, Π³Π΄Π΅ a > 0, a? 1.

4. ВригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x,.

y = sec x, y = cosec x..

5. ΠžΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ тригономСтричСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x, y = arcsec x,.

y = arccosec x.

Если y ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ u, Π° u Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция ΠΎΡ‚ x, Ρ‚ΠΎ y Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ зависит ΠΎΡ‚ x. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ y = F (u), u = ?(x). Π’ΠΎΠ³Π΄Π° y = F (?(x)). ПослСдняя функция называСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΈΠ»ΠΈ слоТной Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. НапримСр, y = sin u, u =. Ѐункция y = sin () Π΅ΡΡ‚ΡŒ слоТная функция ΠΎΡ‚ x.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ называСтся функция, которая ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° y = f(x), Π³Π΄Π΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ f(x) составлСно ΠΈΠ· ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Ρ… элСмСнтарных Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠΎΡΡ‚оянных ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ слоТСния, вычитания, умноТСния, дСлСния ΠΈ Π²Π·ΡΡ‚ия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

НапримСр, y = Π xΠ  =;; .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1. Найти, Ссли .

РСшСниС. Найдём значСния Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ x = a ΠΈ x = b:

.

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, какая ΠΈΠ· Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ чётная ΠΈΠ»ΠΈ нСчётная:

Π°) Π±); Π²) ;

Π³) .

РСшСниС. Π°) Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Ρ‚ΠΎ.

Ρ‚.Π΅. f(- x) = - f(x). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция нСчётная.

Π±) ИмССм, Ρ‚. Π΅.

f (- x) = f (x). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция чётная.

Π²) Π—Π΄Π΅ΡΡŒ, Ρ‚. Π΅.

f(- x) = f(x). Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, функция чётная.

Π³) Π—Π΄Π΅ΡΡŒ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, функция Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΠ΅Ρ‚ся Π½ΠΈ Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ, Π½ΠΈ Π½Π΅Ρ‡Ρ‘Ρ‚Π½ΠΎΠΉ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 3. Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Ѐункция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ссли 2x — 1? 0, Ρ‚. Π΅. Ссли. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ являСтся ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 4. Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

РСшСниС. Ѐункция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ссли x — 1? 0 ΠΈ 1+ x > 0, Ρ‚. Π΅. Ссли x? 1 ΠΈ x > - 1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»ΠΎΠ²: (- 1, 1) ΠΈ (1, + ?).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 5. Найти ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

РСшСниС. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ слагаСмоС ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ вСщСствСнныС значСния ΠΏΡ€ΠΈ 1 -2x? 0, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для нахоТдСния области опрСдСлСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ систСму нСравСнств: ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ.

Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСлСния Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ сСгмСнт.

.

ΠŸΠžΠ‘Π’Π ΠžΠ•ΠΠ˜Π• Π“Π ΠΠ€Π˜ΠšΠžΠ’ Π€Π£ΠΠšΠ¦Π˜Π™.

ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ‘ΠΌΡ‹:

Π°) построСниС «ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ»;

Π±) дСйствия с Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ (слоТСниС, Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅, ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ²);

Π²) прСобразования Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² (сдвиг, растяТСниС).

Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Ρ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

1) y = f(x - a) — ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, сдвинутый вдоль оси Оx Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ a;

2) y = f(x) + b — Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, сдвинутый вдоль оси Oy Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ b;

3) y = A Β· f(x) — исходный Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, растянутый Π² A Ρ€Π°Π· вдоль оси Oy;

4) y = f(kx) — Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, сТатый Π² k Ρ€Π°Π· вдоль оси Ox.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = f(x) ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° .

Рис. 1.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 6. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 2x + 1 + cos x.

РСшСниС. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ слоТСния Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ² Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: y = 2x + 1, y = cos x. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ прямая, Π΅Ρ‘ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌ, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ-косинусоида (Рис. 1).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 7. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

РСшСниС. ΠŸΡ€ΠΈ x < 3 Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ являСтся Π»ΡƒΡ‡ прямой, Π° ΠΏΡ€ΠΈ x? 3 — Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹. Π˜ΡΠΊΠΎΠΌΡ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 2.

Рис. 2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 8. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 2 sin (2x — 1) ΠΈΠ»ΠΈ.

РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ y = sin x. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ строим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = sin 2x ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ сТатия вдоль оси абсцисс Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π°. ПослС этого строим Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ сдвига Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ ΠΈ, Π½Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, искомый Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = 2 sin (2x — 1) ΠΏΡƒΡ‚Ρ‘ΠΌ растяТСния вдоль оси ΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° (3) Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° (рис. 3).

Рис. 3.

ΠŸΠ Π•Π”Π•Π›Π«.

Число Π° называСтся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ссли для всякого сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа? найдётся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число N, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ n > N.

Число A Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ся ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f (x) ΠΏΡ€ΠΈ x > a, Ссли для любого сколь ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ³ΠΎ? > 0 найдётся Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅? > 0, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π f(x) — AΠ  <? ΠΏΡ€ΠΈ.

.

Π³Π΄Π΅ M — ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число .

Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС функция f(x) называСтся бСсконСчно большой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x > a.

Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈ x > a..

Если x < a ΠΈ x > a, Ρ‚ΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²Π½ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ x > a — 0; Ссли x > a ΠΈ x > a, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ x > a + 0.

Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f(x) Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ a.

ΠŸΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ вычислСниС ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² основываСтся Π½Π° ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ°Ρ….

4).

5) ΠΏΡ€ΠΈ ().

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹:

1).

2).

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа x ΠΏΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡŽ e называСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ ΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ся ln x.

ΠŸΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ равСнства:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 9. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ n>? ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ число 2.

РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ n-ΠΉ Ρ‡Π»Π΅Π½ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ,. Π—Π°Π΄Π°Π΄ΠΈΠΌ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число ?. Π’Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ n Π½Π°ΡΡ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ большим, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ нСравСнство 1/n < ?. Для этого достаточно ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ n > 1/?. ΠŸΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π΅ n Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 10. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ n >? ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ 7/3, 10/5,.

13/7,. .. , (3n + 4) /(2n + 1),. .. ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ число 3/2.

РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ 3/2 = (3n + 4) /(2n + 1) — 3/2 = 5/. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ n Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅Ρ‚ся нСравСнство.

5/; Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ 2(2n + 1) > 5/?, Ρ‚ΠΎ n > 5/4? — ½.

ПолоТив? = 0,1, Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ нСравСнство выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈ n > 12 (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ n = 13).

НСравСнство выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈ n > 124,5 (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ n = 125).

НСравСнство выполняСтся ΠΏΡ€ΠΈ n > 1249,5 (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΠΏΡ€ΠΈ n = 1250).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 11.

РСшСниС. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ x > 4, Ρ‚ΠΎ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ стрСмится ΠΊ Ρ‡ΠΈΡΠ»Ρƒ.

5 Β· 4 + 2 = 22, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΊ Ρ‡ΠΈΡΠ»Ρƒ 2 Β· 4 + 3 = 11.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 12.

РСшСниС. Π§ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π±Π΅Π·Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ.

x > ?. Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ случаС говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ здСсь ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ мСсто Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° .

Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π½Π° x Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 13.

РСшСниС. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ стрСмятся ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ ΠΏΡ€ΠΈ.

x > 3 (принято Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ получаСтся Π½Π΅ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²ΠΈΠ΄Π° .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 14.

РСшСниС. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 15.

РСшСниС. ИмССм Π§ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ стрСмится ΠΊ 300, Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚. Π΅. являСтся бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ, ΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, рассматриваСмая Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒΠ±Π΅ΡΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎ большая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 16.

РСшСниС. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΡΡƒΠΌΠΌΡƒ.

:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 17.

РСшСниС. ПолоТим, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 18.

РСшСниС. ИмССм.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 19.

РСшСниС. ИмССм.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ ΠΌΡ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°, приняв.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 20.

РСшСниС. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° ΡΡ‚Π°Ρ€ΡˆΡƒΡŽ ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ x, Ρ‚. Π΅. Π½Π° :

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 21.

РСшСниС. Π Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΈ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π° :

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 22.

РСшСниС. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ рассматриваСмоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π°.

:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 23..

РСшСниС. Π”Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ числитСля Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Π½Π° Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Ρ†Π΅Π»ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ:

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ-Ρ‚ΠΎ ΠŸΡ€ΠΈΠ½ΡΠ² Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 24. Найти Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

ΠΏΡ€ΠΈ x > 3.

РСшСниС.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 25. Найти Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ.

x > a.

РСшСниС.

ΠΠ•ΠŸΠ Π•Π Π«Π’ΠΠžΠ‘Π’Π¬ ЀУНКЦИИ.

Ѐункция f (x) называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π°, Ссли: 1) эта функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ окрСстности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π°; 2) сущСствуСт; 3) этот ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π°, Ρ‚. Π΅.

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ (ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°) ΠΈ (ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ), ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ условиС нСпрСрывности Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΡŽ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° соотвСтствуСт бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΡ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Если функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ области (ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π°, сСгмСнта ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° называСтся Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠΉ Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ области.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π°, принадлСТащая области опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰Π°ΡΡΡ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ для этой области, называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°, Ссли Π² ΡΡ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π½Π°Ρ€ΡƒΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ условиС нСпрСрывности Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Если ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹:

ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ Π½Π΅ Π²ΡΠ΅ Ρ‚Ρ€ΠΈ числа Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой, Ρ‚ΠΎ Π° называСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° I Ρ€ΠΎΠ΄Π°.

Π’ Ρ‡Π°ΡΡ‚ности, Ссли Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Π° Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой:, Π½ΠΎ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π° называСтся устранимой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°.

Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°, Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° I Ρ€ΠΎΠ΄Π°, Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° II Ρ€ΠΎΠ΄Π°. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ… Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° II Ρ€ΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚ хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ½Π½ΠΈΡ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ².

Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ числа Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция нСпрСрывная.

ЧастноС ΠΎΡ‚ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция нСпрСрывная Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°Ρ…, Π³Π΄Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π½Π΅ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 26.

РСшСниС. Находим.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, функция ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½ΠΈ Π»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ, Π½ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° II Ρ€ΠΎΠ΄Π° (рис. 4).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 27.

РСшСниС.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΉ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ эти ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, являСтся Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° I Ρ€ΠΎΠ΄Π°.

Рис. 4 Рис. 5.

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€Π°Π²Ρ‹ΠΌ ΠΈ Π»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° I Ρ€ΠΎΠ΄Π°.

(рис. 5).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 28.

РСшСниС. Π’ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ, Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ².

ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ сокращСна Π½Π°, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈ.

Π›Π΅Π³ΠΊΠΎ Π²ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€ΠΈ функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ устранимый Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π². Он Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ устранён, Ссли ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ.

ΠΏΡ€ΠΈ всСх значСниях x, Π½Π΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠΈ. Π’ ΡΡ‚ΠΎΠΌ случаС Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ прямая линия .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 29. Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

РСшСниС. Находим.

.

Π—Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, функция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ .

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 30. Π˜ΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π° Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΈ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚ностях Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π°.

РСшСниС. Π—Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈ обращаСтся Π² Π½ΠΎΠ»ΡŒ, ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΠ΅Ρ‚. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Для опрСдСлСния Ρ‚ΠΈΠΏΠ° Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° Π½Π°Π΄ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слСва ΠΈ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈ .

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ слСва ΠΈ ΡΠΏΡ€Π°Π²Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой, Π½ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ функция Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π°, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ устранимый Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π². Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠΊΡ€Π΅ΡΡ‚ности Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π·Ρ€Ρ‹Π²Π° ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΡ‘Π½ Π½Π° Ρ€ΠΈΡ. 6.

Рис. 6.

Π”ΠΎΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ², ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ вСсь тСкст
Π—Π°ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅ΠΊΡƒΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ΠΎΠΉ