Вторая геометрия у реки

Измерить ширину реки

Не переплывая реки, измерить ее ширину — так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Неприступное расстояние измеряют теми же приемами, какими мы измеряли недоступную высоту. В обоих случаях определение искомого расстояния заменяется промером другого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению.

Из многих способов решения этой задачи рассмотрим несколько наиболее простых.

1. Для первого способа понадобится уже знакомый нам «прибор» с тремя булавками на вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 25). Пусть требуется определить ширину АВ реки (рис. 26), стоя на том берегу, где точка В, и не перебираясь на противоположный. Став где-нибудь уточки С, держите булавоч • ный прибор близ глаз так, чтобы, смотря одним глазом.

Рис. 25. Измерение ширины реки булавочным прибором.

вдоль двух булавок, вы видели, как обе они покрывают, точки В и А. Понятно, что, когда это вам удастся, вы будете находиться как раз на продолжении прямой АВ. Теперь, не двигая дощечки прибора, смотрите вдоль других двух булавок (перпендикулярно к прежнему направлению) и заметьте какую-нибудь точку D, покрываемую этими булавками, т. е. лежащую на прямой, перпендикулярной к АС. После этого воткните в точку С веху, покиньте это место и идите с вашим инструментом вдоль прямой CD, пока не найдете на ней такую точку Е (рис. 27), откуда можно одновременно покрыть для глаза булавкой b шест точки С, а булавкой а — точку А. Это будет значить, что вы отыскали на берегу третью вершину треугольника АСЕ, в котором угол С— прямой, а угол Е

равен острому углу булавочного прибора, т. е. — прямого. Очевидно, и угол А равен прямого, т. е. АС = СЕ.

Если вы измерите расстояние СЕ хотя бы шагами, вы узнаете расстояние Л С, а отняв ВС, которое легко измерить, определите искомую ширину реки.

Рис. 26. Первое положение Рис. 27. Второе положение булавочного прибора булавочного прибора.

Довольно неудобно и трудно держать в руке булавочный прибор неподвижно; лучше поэтому прикрепить эту дощечку к палке с заостренным концом, которую и втыкать отвесно в землю.

Рис. 28. Пользуемся признаками равенства треугольников.

• 2. Второй способ сходен с первым. Здесь также находят точку С на продолжении АВ и намечают при помощи булавочного прибора прямую CD под прямым уг-
• 46

лом к СА. Но дальше поступают иначе (рис. 28). На прямой CD отмеряют равные расстояния СЕ и EF произвольной длины и втыкают в точки Е и F вехи. Став затем в точке F с булавочным прибором, намечают направление FG, перпендикулярное к ЕС. Теперь, идя вдоль FG, отыскивают на этой линии такую точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Это будет означать, что точки Н, ЕиА лежат на одной прямой. .

Задача решена: расстояние FH равно расстоянию АС, от которого достаточно лишь отнять ВС, чтобы узнать, искомую ширину реки (читатель, конечно, сам догадается, почему FH равно АС).

Этот способ требует больше места, чем первый; если местность позволяет осуществить оба приема, полезно проверить один результат другим.

3. Описанный сейчас способ можно видоизменить: отмерить на прямой CF не равные расстояния, а одно в несколько раз меньше другого. Например (рис. 29), отмеряют FE в четыре раза меньше ЕС, а далее поступают по-прежнему: по направлению FG, перпендикулярному к FC, отыскивают точку Н, из которой веха Е кажется покрывающей точку А. Но теперь уже FH не равно АС, а меньше этого расстояния в четыре раза: треугольники АСЕ и EFH здесь не равны, а подобны (имеют равные углы при неравных сторонах). Из подобия треугольников следует пропорция.

Значит, измерив FH и умножив результат на 4, получим расстояние АС, а отняв ВС, узнаем искомую ширину реки.

Этот способ требует, как мы видим, меньше места и потому удобнее для выполнения, чем предыдущий.

Рис. 29. Пользуемся признаками подобия треугольников.

4. Четвертый способ основан на том свойстве прямоугольного треугольника, что если один из его острых углов равен 30°, то противолежащий катет составляет половину гипотенузы. Убедиться в правильности этого положения очень легко. Пусть угол В прямоугольного треугольника АВС (рис. 30, слева) равен 30°; докажем, что в таком случае АС = —АВ. Повернем треугольник.

АВС вокруг ВС так, чтобы он расположился симметрично своему первоначальному положению (рис. 30, справа), образовав фигуру ABD; линия ACD — прямая, потому что оба угла у точки С прямые. В треугольнике ABD угол А = 60°, угол ABD, как составленный из двух углов по 30°, тоже равен 60°. Значит, AD = BD как стороны, лежащие против равных углов. Но АС= —AD; следова;

• 1 ² тельно, АС = —АВ.
• 2

Желая воспользоваться этим свойством треугольника, мы должны расположить булавки на дощечке так, чтобы основания их обозначали прямоугольный треугольник, в котором катет вдвое меньше гипотенузы. С этим прибором мы помещаемся в точке С (рис. 31) так, чтобы направление АС совпадало с гипотенузой булавочного треугольника. Смотря вдоль короткого катета этого треугольника, намечают направление CD и отыскивают на нем такую точку Е, чтобы направление ЕА было перпендикулярно к CD (это выполняется при помощи того же булавочного прибора). Легко сообразить, что расстояние СЕ — катет, лежащий против угла 30°, — равно половине АС. Значит, измерив СЕ, удвоив это расстояние и отняв ВС, получим искомую ширину АВ реки.

Рис. 30. Когда катет равен Рис. 31. Схема применения половине гипотенузы прямоугольного реугольника.

с углом в 30°.

Вот четыре легковыполнимых приема, при помощи которых всегда возможно, не переправляясь на другой берег, измерить ширину реки со вполне удовлетворительной точностью. Способов, требующих употребления более сложных приборов (хотя бы и самодельных), мы здесь рассматривать не будем.